...一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.(Ⅰ)求证:P

发布网友发布时间：2024-09-26 23:59

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热心网友时间：2024-10-01 00:22

解答：（Ⅰ）证明：右准线为x＝a2c，由对称性，不妨设渐近线l为y＝bax，则P(a2c，abc)．
又F（c，0），∴kPF＝abc?0a2c?c＝?ab．
又∵kl＝ba，∴kPF?kl＝?ab?ba＝?1，∴PF⊥l；
（Ⅱ）解：∵|PF|为F（c，0）到l：bx-ay=0距离，∴|bc|a2+b2＝2，即b=2．
又e＝ca＝3，∴a2+b2a2＝3，解得a2=1．
故双曲线方程为x2?y22＝1；
（Ⅲ）解：设M（x，y），
当过点A的直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），
由y?1＝k(x?2)x2?y22＝1，
可得（2-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-2=0．
当（2-k2）≠0，△=（1-2k）24k2+4（2-k2）[（1-2k）2+2]＞0时，
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴x＝x1+x22＝k(1?2k)2?k2（1）y＝y1+y22＝k(x1+x2)?4k+22＝2(1?2k)2?k2（2）
当k＝12时，此时M（0，0）．
当k≠12时，显然y≠0．此时（1）÷（2）得k＝2xy，将其代入（2），
得y2＝y(y?4x)2y2?4x2．∵y≠0，∴有2x2-y2-4x+y=0．显然（0，0）也满足此方程．
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为x=2，则P1P2中点为（2，0）符合上式．
综上可知，M点的轨迹方程为2x2-y2-4x+y=0．