已知正数a,b满足a+b=1(1)求ab的取值范围(2)求ab+1/ab的最小值

发布网友发布时间：2024-09-26 23:40

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热心网友时间：2024-09-30 09:33

解
（1）因为a+b=1
所以a=1-b
则ab=（1-b）*b=-b^2+b=-(b-1/2)^2+1/4
当b=1/2时ab取最大值1/4
又因为0<b<1
所以ab的取值范围是(0,1/4]
(2)令f（ab）=ab+1/ab，ab=x
则f（ab）=f（x）=x+1/x，又因为ab的取值范围是(0,1/4]
则x的取值范围是(0,1/4]
证明f（x）的增减性
设x1，x2属于（0，1/4]，且x1<x2
令g（x）=f（x1）-f（x2）=x1+1/x1-x2-1/x2=（x1-x2）+（1/x1-1/x2）
整理得g（x）=（x1-x2）*（1-1/（x1*x2））
因为x1-x2<0
又因为0<x1*x2<=1/16
所以1/（x1*x2）的最小值为16
所以1-1/（x1*x2)<0
则g（x）>0
所以f（x1）-f（x2）>0
即f（x1）>f(x2)
即f（x）为递减函数
即f(x)在1/4处取得最小值
则最小值为1/4+4
即ab+1/ab的最小值

热心网友时间：2024-09-30 09:35

0≤ab≤1/4

ab+1/ab 最小值 17/4