已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=n?g(x)m+2g...

发布网友发布时间：2024-09-25 15:21

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热心网友时间：2024-10-07 07:43

（1）∵y=g（x）是指数函数，
∴设g（x）=ax（a＞0，且a≠1），
∵g（3）=8，
∴a3=8，解得a=2，
故g（x）=2x；
（2）∵f（x）=n?g(x)m+2g(x)，且g（x）=2x，
∴f（x）=n?2xm+2x+1，
∵f（x）=n?2xm+2x+1是奇函数，
∴f（0）=0，即n?12+m＝0，解得n=1，
∴f（x）=1?2xm+2x+1，
又∵f（-1）=-f（1），
∴1?12m+1＝1?24+m，解得m=2，
故m=2，n=1；　　　　　　
（3）由（2）知，f（x）=1?2x2+2x+1=-12+12x+1，
∵y=2x+1在R上单调递增，则y=12x+1在R上单调递减，
∴f（x）=-12+12x+1在R上单调递减，
∵不等式f（2t-3t2）+f（t2-k）＞0，
∴f（2t-3t2）＞-f（t2-k），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2t-3t2）＞f（k-t2），
又f（x）是R上的单调递减函数，
∴f（2t-3t2）+f（t2-k）＞0对任意的t∈R恒成立，转化为2t-3t2＜k-t2对任意的t∈R恒成立，
∴2t2-2t+k＞0对任意的t∈R恒成立，
∴△=（-2）2-4×2×k＜0，解得k＞12，
故实数k的取值范围为k＞12．