ln(1+x)-ln(1-x)-2ln(x+√1+x^2)为什么不能用等价无穷小?

发布网友发布时间：2024-09-26 09:02

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热心网友时间：2024-12-08 05:10

在分析给定的表达式 ln(1+x) - ln(1-x) - 2ln(x+√(1+x^2))，我们可以尝试使用等价无穷小来简化它。等价无穷小的概念是在极限过程中，将某个函数简化为一个相对更小的函数，以便更容易计算。
首先，让我们尝试使用等价无穷小来简化这个表达式。我们可以使用泰勒展开来近似 ln(1+x) 和 ln(x+√(1+x^2))，并利用等价无穷小来化简。
1. 近似 ln(1+x)：
ln(1+x) 的泰勒展开的前几项为：
ln(1+x) ≈ x - x^2/2
2. 近似 ln(x+√(1+x^2))：
ln(x+√(1+x^2)) 的泰勒展开可能较为复杂，但我们可以尝试用类似的方式进行近似。
然而，这里出现的主要问题在于，当 x 取特定的值时，这些近似可能会导致负数或零的平方根，从而导致对 ln(x+√(1+x^2)) 进行取对数时出现复数。这会使等价无穷小的近似失效。
因此，尽管等价无穷小在很多情况下是一种强大且有用的工具，但在某些情况下，特别是涉及复杂函数、平方根等的情况下，它的应用可能会受到*。在这种情况下，可能需要采用其他方法来分析和化简给定的表达式。