请教ln(1+ x)的泰勒级数展开式?

发布网友发布时间：2024-09-26 09:02

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热心网友时间：2024-10-04 22:33

ln(1+x)的泰勒级数展开式如下：

当x在-1到1的区间内时，ln(1+x)可以表示为：

ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1) * x^n / n

这个级数展开式是通过泰勒展开公式推导得出的，f(x) = ln(x+1)，初始时f(0) = ln1 = 0，然后逐阶求导得到f'(0) = 1/(1+0) = 1，f''(0) = -1/(1+0)^2 = -1，以此类推，fⁿ(0) = (n-1)! * (-1)^(n+1)。将这些导数的值代入泰勒展开公式，就得到了上述的级数形式：

ln(x+1) = x - x²/2 + x³/3 - ... + (-1)^(n+1) * xⁿ/n

其中，当x = 0时，就是ln1的值，随着x的增加，每一项的系数会交替正负，且由正变负的项是前面项的绝对值除以n。这就是ln(1+x)的泰勒级数展开式，它在-1到1的范围内提供了ln(1+x)的精确近似值。