算子范数的定义
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发布时间：2022-05-07 00:46
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时间：2023-10-31 19:44
中文名
范数
外文名
norm
应用学科
数学
适用领域范围
代数
本质
函数
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算子范数空间范数矩阵范数
名词定义
范数
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
半范数
假设
是域
上的矢量空间，V的半范数是一个函数
，
，满足：
（非负性）
（正值齐次性）
(三角不等式).
范数=半范数+额外性质
赋范线性空间
若
是数域上的线性空间，泛函
满足：
(1)正定性：
，且
；
(2)正齐次性：
；
(3)次可加性（三角不等式）：
。
那么，
称为
上的一个范数。
如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
当且仅当
是零矢量(正定性）时，
是零矢量；若拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
内积、度量、拓扑和范数的关系
(1) 范数
度量
拓扑：
，因此赋范线性空间是度量空间；但是由度量不一定可以得到范数。
(2) 如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量
的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。
(3) 内积
范数：
；范数不一定可以推出内积；当范数满足平行四边形公式
时，这个范数一定可以诱导内积；完备的内积空间称为希尔伯特空间。
