求极限lim(x→+∞)x²[lnarctan(x+1)-lnarctanx]=

发布网友发布时间：2024-09-30 14:41

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热心网友时间：2024-11-29 17:58

设f(x)=lnarctanx，在[n,n+1]上连续可导
则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(n,n+1)，使得f'(k)=[f(n+1)-f(n)]/(n+1-n)=f(n+1)-f(n)
1/(1+k^2)arctank=lnarctan(n+1)-lnarctann
因为当n->∞时，根据极限的敛迫性，k->∞，arctank->π/2
所以原式=(2/π)*lim(n->∞) n^2/(1+k^2)
因为n^2/[1+(n+1)^2]<n^2/(1+k^2)<n^2/(1+n^2)
且lim(n->∞)n^2/[1+(n+1)^2]=lim(n->∞)n^2/(1+n^2)=1
所以根据极限的敛迫性，lim(n->∞) n^2/(1+k^2)=1
即原式=2/π
（这是网上找的答案，我看了过程没有什么问题，答案2/π和书上的答案一样）

热心网友时间：2024-11-29 17:59

设y=[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)，则lny=(1/x)*ln[(1+x)^(1/x)/e]=(1/x)[(1/x)*ln(1+x)-1]=[ln(1+x)-x]/x²；{x→+∞}lim{lny}=lim{[ln(1+x)-x]/x²}=lim{[1/(1+x)]-1}/(2x)=-0；∴limy=lim{e^lny}=e^(lim{lny})=e^0=1；{x→0}lim{lny}=lim{[ln(1+x)-x]/x²}=lim{[1/(1+x)]-1}/(2x)=lim{-x/[(1+x)(2x)]}=lim{-1/[2(1+x)]}=-1/2；∴limy=lim{e^lny}=e^(lim{lny})=e^(-1/2)=1/√e=√e/e；