设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解 急
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发布时间：2024-09-30 07:01
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时间：2024-12-03 14:09
所以|A^tA|>0, 从而（A^tA)的秩是n
从而方程(A^tA)X=0只有零解。
下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可。
1）设α设是方程AX=0的解，那么Aα=0
从而（A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0， 即α是方程(A^tA)X=0的解
2）设α设是方程（A^tA)X=0的解， 则（A^tA)α=0
从而α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=0
而Aα是mx1的矩阵， 设Aα=(x1,x2,...,xm)^t
所以α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由于x1,x2,...,xm是实数，所以x1=x2=...=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解，
因此方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解，从而Ax=0只有零解。
