如图,在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上一动点,过点P作PE丄AB,PF丄AC...

发布网友 发布时间：2024-09-30 12:20

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热心网友 时间：2024-10-05 06:34

追梦少女的问题:你好!抱歉，由于太忙很久不来百度知道了，刚看到你的定向求助。
　　原问题:如图(自己完成，容易)，在三角形ABC中，AB=AC，点P是BC边上一动点,过点P作PE丄AB，PF丄AC，BG丄AC，垂足点为点E、F、G，求证：PE+PF=BG，当点P运动到CB的延长线上时，上述关系是否成立?
　　 证明：过P作PD⊥BG于D，
　　 ∵BG⊥AC，PF⊥AC，
　　 ∴PD∥GF，GD∥PF（平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
　　 ∴四边形PDGF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
　　 ∴PF=GD（平行四边形的对边相等） ①
　　 ∵PD∥GF(即PD∥AC已证)
　　 ∴∠BPD=∠C（两直线平行，同位角相等），
　　 又∵AB=AC（已知）
　　 ∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
　　 ∴∠BPD=∠ABC（等量代换）
　　 ∵∠PEB=∠BDP=90°（垂直关系），BP=PB
　　 ∴△BPE≌△PBD（AAS）
　　 ∴PE=BD ②
　　 由①、②得，PE+PF=BD+DG=BG
　　 即PE+PF=BG 证毕；
　 下面说明(证明依据说明易完成)当点P运动到CB的延长线上时，有关系PF-PE=BG，即上述关系PE+PF=BG不成立：
　 事实上，过点B作BD⊥PF于D，此时E在AB的延长线上，同上(与P在BC上运动时关系PE+PF=BG的证明类似)易证四边形BDFG为平行四边形及△BPE≌△BPD，即PE=PD，DF=BG，故PE-BG=PD-DF=PF，即PF-PE=BG。

热心网友 时间：2024-10-05 06:37

“上述关系”关系是什么关系？

热心网友 时间：2024-10-05 06:36

证明：过P作PD⊥BG于D，
∵BG⊥AC，PF⊥AC，
∴PD∥GF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∵∠DGF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PD∥GF，即PG∥AC，
∴∠BPD=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPD=∠ABC（等量代换）
∵∠PEB=∠BDP=90°（已证），BP=PB
∴△BPE≌△PBD（AAS）
∴PE=BD②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BG；

当点P运动到CB的延长线上时，上述关系不成立
解：结论：PE-PF=BG

热心网友 时间：2024-10-05 06:33

有没有图啊

热心网友 时间：2024-10-05 06:31

证明：过P点，作PD⊥BG于D，
∵BG⊥AC，PF⊥AC，
∴PD∥GF，GD∥PF
∴四边形PDGF是矩形
∴PF=GD
∴PD∥GF，即PD∥AC，
∴∠BPD=∠C
又∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠BPD=∠ABC
∵∠PEB=∠BDP=90°，BP=PB
∴△BPE≌△PBD（AAS）
∴PE=BD
∴PE+PF=BD+GD=BG

当点P运动到CB的延长线上时，上述关系不成立
∵此时：BG=PF-PE