...a.b.c是角A、角B、角C所对的边,求证:a^2=b*(b+c)是角A等于二倍角B...
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发布时间：2024-09-30 10:19
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时间：2024-10-01 13:33
1.充分性：
由a²=b（b+c）成立，推导∠A=2∠B成立：
cosB=（a²+c²-b²）/2ac
=（b²+bc+c²-b²）/2ac
=（bc+c²）/2ac，
=（c+b）/2a
=（c+b）/2√（b²+bc）。
cosA=（b²+c²-a²）/2bc
=（b²+c²-b²-bc）/2bc
=（c-b）/2b。
由cos2B=2×cos²B-1
=2×（c+b）²/4（b²+bc）-1
=（c²+2bc+b²）/2b（b+c）-1
=（c²+2bc+b²-2b²-2bc）/2b（b+c）
=（c-b）/2b。
∴∠A=2∠B。
2.必要性：由∠A=2∠B成立推导a²=b（b+c）成立。
设△ABC中，∠A=2∠B，
在AB上取一点D，使得AC=CD=DB=b，
BC=a,AD=c-b,
作CE⊥AB，三角形BCE中：
CB²=CE²+BE²，
其中：CB²=a²，
CE²=b²-[（c-b）/2]²
BE²=[（b+（c-b）/2]²
a²=b²-（c-b）²/4+（c+b）²/4
a²=b²+bc，
得a²=b（b+c）。
证毕。
