如图所示:定积分问题
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发布时间：2024-09-29 06:42
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时间：2024-09-30 11:39
∫ secx dx的解法。
法一：
∫ secx dx = ∫ [secx(secx + tanx)]/(secx + tanx) dx
= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx
= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)
= ln|secx + tanx| + C
法二：
∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx = ∫ cosx/cos²x dx
= ∫ 1/(1 - sin²x) d(sinx)
= (1/2)∫ [(1 + sinx) + (1 - sinx)]/[(1 - sinx)(1 + sinx)] d(sinx)
= (1/2)∫ [1/(1 - sinx) + 1/(1 + sinx)] d(sinx)
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
法三：
∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx = ∫ 1/[(1 - y²)/(1 + y²)] * 2dy/(1 + y²)、y = tan(x/2)、dx = 2dy/(1 + y²)
= 2∫ dy/(1 - y²) dy = ∫ [(1 + y) + (1 - y)]/[(1 - y)(1 + y)] dy
= ∫ [1/(1 - y) + 1/(1 + y)] dy
= ln|(1 + y)/(1 - y)| + C
= ln|[1 + tan(x/2)]/[1 - tan(x/2)]| + C
法二和法三的答案都可以转换为法一的答案。
∫ √(1 + θ²) dθ = ∫ √(1 + tan²y)(sec²y)、θ = tany、dθ = sec²y dy
= ∫ sec³y dy = ∫ secy d(tany)
= secytany - ∫ tany d(secy)
= secytany - ∫ secytan²y dy
= secytany - ∫ sec³y dy + ∫ secy dy
2∫ sec³y dy = secytany + ln|secy + tany|
∫ sec³y dy = (1/2)secytany + (1/2)ln|secy + tany|
= (θ/2)√(1 + θ²) + (1/2)ln|θ + √(1 + θ²)|
a∫(0→2π) √(1 + θ²) dθ
= (πa)√(1 + 4π²) + (a/2)ln[2π + √(1 + 4π²)]
∫(0→φ) √(1 + a²)e^(aθ) dθ
= √(1 + a²)(1/a)∫(0→φ) e^(aθ) d(aθ)
= √(1 + a²)/a * e^(aθ) |(0→φ)
= [√(1 + a²)/a][e^(aφ) - 1]
