【数值分析】常微分方程组数值解(附代码)
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发布时间：2024-09-29 23:52
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时间：2024-10-04 12:13
数值分析：常微分方程组数值解的改进方法
在之前的篇章中，我们已经探讨了欧拉法和改进欧拉法用于解常微分方程的基本概念。今天，我们将更深入地分析这两种方法在处理二阶微分方程时的应用。以简谐振动方程为例，其形式为：
公式：[公式]
虽然解析解显而易见为：[公式]
但直接应用欧拉法会遇到问题，因为我们需要的是二阶导数的数值解，而欧拉法仅适用于一阶导数。通过构造微分方程组，我们可以将问题转化为：
公式：[公式]
通过这个方程组，我们逐步计算和更新一阶导数，然后利用欧拉法求解，解决高阶方程。这种方法的关键在于将复杂问题拆分为多个简单的一阶方程组。
下面是通过编程实现的求解结果，通过通用符号重写方程组：
公式：[公式]
结果显示，欧拉法求得的数值解与解析解存在明显偏差，尤其是在长期动态中出现发散。为了提升精度，我们尝试使用改进欧拉法，结果显著改善：
改进欧拉法的应用使得数值解与解析解几乎重合，这显示了其在精度上的优势。
虽然今天的分享与之前的内容相似，但别急着离开，如果你对数值分析感兴趣，记得关注我的知乎和微信公众号“知非涤心”，我们将继续深入讨论相关话题。下期预告：
