f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么f(x)_a在[a,b]上也连续吗

发布网友发布时间：2024-09-30 04:24

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热心网友时间：2024-11-16 02:47

用反证法。假设存在 [a,b] 上一点m，有f(m)=A≠0 ；在[a,b]上f(x)>=0，那么 f(m)=A>0 ；
因为 f(x) 是连续函数，那么 f(x) 在点 m 处的极限是 f(m) ；
即对 e=A/2>0 ，存在 d>0 ，使得当 |x-m|<d 时（x当然也在[a,b]上），有
|f(x)-A|<e=A/2 ；那么当 a<m-d<x<m+d<b 时，f(x)>=A/2 ；
∫(a→b)f(x)dx =0 ，根据定积分的定义，
任取ε>0 ，存在δ>0 ，使得对[a,b]上任意的分法：
a = x(0) < x(1) < x(2) < x(3) < ...... < x(n) = b
令 λ = max{ △(1),△(2),......,△(n)} ，其中 △(k)=x(k)-x(k-1) (k=1,2,...,n) ，
当 |λ|<δ时，对任意的 y(k)∈(x(k-1),x(k)) ，有
|∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] -∫(a→b)f(x)dx| < ε
这里∫(a→b)f(x)dx =0，f(x)>=0，即 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] < ε
这里我就说下思路，因为当 a<m-d<x<m+d<b 时，f(x)>=A/2 ，对任意的分法，
a = x(0) < x(1) < x(2) < x(3) < ...... < x(n) = b
由于f(x)>=0，和式 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] >= 2d*(A/2)
那么上述和式的极限不可能等于0，与∫(a→b)f(x)dx =0 矛盾。
上述过程中m是在(a,b)内讨论的，如果点m是端点a或b的话只要把m-d<x<m+d改成半个开区间就可以，其余证明完全类似。
所以在[a,b]上 f(x)=0 .
请采纳。