苏北四市三模数学第12题:已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,A、B是其左、右...
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发布时间：2024-09-29 08:59
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时间：2024-10-11 15:52
证明如下：
设M(2，t)，因A(－2，0)，则直线AM的方程是：y=(t/4)(x＋2)，此直线与椭圆x²/4＋y²/2=1联立，消去y，得：(t²＋8)x²＋4t²x＋4t²－32=0，因此方程有一个根是x1=－2【即是点A的横坐标】，则利用x1x2=(4t²－32)/(t²＋8)，得：x2=(16－2t²)/(t²＋8)，此即为点P横坐标，将其代入直线AM中，得点P坐标是【(16－2t²)/(t²＋8)，8t/(t²＋8)】，及B(2，0)、Q(x，0)，由于以PM为直径的圆过AM与BP的交点，则向量QM与向量BP垂直，即QM*BP=0，而QM=(2－x，t)，BP=((－4t²)/(t²＋8)，8t/(t²＋8))，代入，得：(2－x)[(－4t²)/(t²＋8)]＋8t²/(t²＋8)=0，即：4t²x=0对一切t∈R恒成立，则：x=0，从而点Q的坐标是Q(0，0)
