...延长MN交⊙ 于点D,连结BD交AC于点P,则PC/PA=?

发布网友 发布时间：2024-09-29 09:47

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热心网友 时间：2024-09-29 10:06

设外接圆圆心为O,延长MN交⊙O于D。
并设正△ABC边长为1。
MN是△ABC的中位线，MN‖BC,MN=1/2BC=1/2.
连结BN，则BN必过圆心O，连结OC。设外接圆半径为R。
BN=√(BC²-CN²)=√(1-1/4)=√3/2.
RT△ONC中：OC²=ON²+CN²
R²=(√3/2- R) ²+1/4, R=√3/3.
从而OB=R=√3/3. ON=BN-OB=√3/2-√3/3=√3/6.
过O作OE⊥MN，E为垂足，
OE=√(ON²-EN²)=√(ON²-1/4MN²)=√(1/12-1/16)= √3/12.
从而ED=√(OD²-OE²)=√(R²-OE²)=√(1/3-3/144)=√5/4.
ND=ED-EN=√5/4-1/4=(√5-1)/4.
由MN‖BC知，PC/PN=BC/ND=1/((√5-1)/4)= √5+1.
∴PC/CN=(√5+1)/ (√5+2)=3-√5.
∵CN=1/2, ∴PC=(3-√5)/2.
∴PC/PA=[(3-√5)/2]/[1-(3-√5)/2]= (3-√5)/(√5-1)= (√5-1)/2.

热心网友 时间：2024-09-29 10:09

并设正△ABC边长为1。 MN是△ABC的中位线，MN‖BC,MN=1/2B C=1/2. 连结BN，则BN必过圆心O，连结OC。设 外接圆半径为R。 BN=√(BC²-CN²)=√(1-1/4)=√3/2. RT△ONC中：OC²=ON²+CN² R²=(√3/2- R) ²+1/4, R=√3/3. 从而OB=R=√3/3. ON=BN-OB=√3/2-√3/3=√3/6. 过O作OE⊥MN，E为垂足， OE=√(ON²-EN²)=√(ON²-1/4MN²)=√(1/1 2-1/16)= √3/12. 从而ED=√(OD²-OE²)=√(R²-OE²)=√(1/3-3 /144)=√5/4. ND=ED-EN=√5/4-1/4=(√5-1)/4. 由MN‖BC知，PC/PN=BC/ND=1/((√5-1) /4)= √5+1. ∴PC/CN=(√5+1)/ (√5+2)=3-√5. ∵CN=1/2, ∴PC=(3-√5)/2. ∴PC/PA=[(3-√5)/2]/[1-(3-√5)/2]= (3-√5 )/(√5-1)= (√5-1)/2.