已知幂函数求导公式:(xα)'=α?xα-1对α∈R均成立.(1)当α≥1,且x>...
发布网友
发布时间：2024-09-29 20:00
共1个回答
热心网友
时间：2024-10-03 13:39
h'（x）=α（1+x）α-1-α=α[（1+x）α-1-1]，
当α=1时，不等式显然成立；
当α＞1时，（1+x）α-1-1单调递增，
当x=0时，h'（x）=0，
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，（1+x）α≥αx+1恒成立；
（2）当a=b，不等式显然成立；
当a≠b时，不妨设a＜b，
则aa+bb≥ab+ba?aa-ab≥ba-bb，
令φ（x）=xa-xb，x∈[a，b]
下证φ（x）是单调减函数．
∵φ′（x）=axa-1-bxb-1=axb-1（xa-b-ba）
易知a-b∈（-1，0），1+a-b∈（0，1），11+a?b＞1，
由（1）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a，b]，
∴b11+a?b=[1+(b?1)]11+a?b＞1+b?11+a?b=a1+a?b＞a，
∴b＞a1+a-b，∴ba＞aa-b≥xa-b，
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a，b]上单调递减．
∴φ（a）＞φ（b），
即aa-ab＞ba-bb，
∴aa+bb＞ab+ba．
综上，aa+bb≥ab+ba成立．
