两个底半径相等的圆柱体 正交后 公共部分的体积
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发布时间：2024-09-29 19:21
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时间：2024-10-21 06:13
因为密度是均匀的，不用三重积分，
设两个圆柱面，其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行，其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,,
考虑对称性，只计算第一卦限，再乘以8即可，
在第一卦限上，在XOY平面投影D为1/4圆，x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆，而在YOZ平面投影是正方形，
V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0，R]dx∫[0，√（R^2-x^2)] dy
=8∫[0，R] [0，√（R^2-x^2)] √（R^2-x^2) y dx
=8∫[0，R](R^2-x^2)dx
=8(R^2x-x^3/3[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.
也可用一元函数积分作，设圆柱面x^2+y^2=R^2和圆柱面x^2+z^2=R^2垂直相交，
在第一卦限内，公共体部分在YOZ平面上投影是正方形，在平行于YOZ平面上可以切出无数正方形“薄片”，边长分别为φ（x)=√（R^2-x^2),ψ(x)=√（R^2-x^2)
面积S(x)=φ（x)*ψ(x)=R^2-x^2,
∴V=8∫[0，R]（R^2-x^2)dx
=8（R^2x-x^3/3)[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.
