旋转矩阵三维空间
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发布时间：2024-09-06 03:32
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时间：2024-09-28 14:53
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值，此特征值对应于旋转轴。旋转角θ下，旋转矩阵的其他两个特征值为 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。因此，3 维旋转的迹数等于 1 + 2cos(θ)，此公式能快速计算任何3维旋转的旋转角度。
3维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵，仅需三个实数即可指定一个3维旋转矩阵。生成旋转矩阵的一种简单方式是将其作为三个基本旋转的序列复合，即绕x-, y- 和 z-轴的旋转分别称为roll, pitch 和 yaw旋转。
绕x轴的旋转定义为θx，绕y轴的旋转定义为θy，绕z轴的旋转定义为θz。任何3维旋转矩阵可以用这三个角θx, θy, 和θz来描述，并可表示为roll, pitch和yaw矩阵的乘积。
旋转矩阵在SO(3)旋转群中的集合，加上复合运算形成旋转群SO(3)。角-轴表示和四元数表示在三维中，旋转可以通过单一旋转角θ和所围绕的单位向量方向来定义。这个旋转可以简单地用生成元表示，并等价于Rodrigues旋转公式。四元数基于轴和角，表示为正规化四元数Q。
欧拉角表示在三维空间中通过三个欧拉角(α,β,γ)定义旋转。存在多种欧拉角定义，每个都可以通过roll, pitch和yaw的复合来表达。以“z-x-z”欧拉角为例，在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵表达为进行乘法运算生成。
对称保持SVD表示提供了旋转轴q和旋转角θ的旋转矩阵表示，其中的纵列张开正交于q的空间而G是θ度Givens旋转，即表示为保持对称的矩阵形式。
扩展资料
旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。
