矩阵范数推导(一范数,无穷范数)

发布网友发布时间：2024-08-23 16:21

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热心网友时间：2024-09-04 09:07

假设大家已经掌握了基础的线性代数知识，本文将详述一范数和无穷范数的矩阵诱导范数推导。

矩阵的诱导范数定义为，通过寻找使向量范数最大化的标量，来确定矩阵的特定性质。具体来说，对于矩阵A和向量x，诱导范数的计算公式为[公式]。当选择向量范数为[公式]时，对应的范数即为矩阵A的[公式]范数。

以下是矩阵诱导范数的几个关键性质：一范数时，矩阵的列向量绝对值之和最大，即[公式]；无穷范数则对应矩阵行向量绝对值的最大和，即[公式]。值得注意的是，这两种范数的推导中，等号成立的条件较为特殊。一范数的等号成立需所有列向量中绝对值最大的值位于同一行，而无穷范数的等号则意味着每一列的最大值都出现在同一行，否则不成立。

有人试图通过[公式]推导矩阵的诱导无穷范数，但这在一般情况下并不成立，因为这个过程假设了列向量的最大绝对值出现在同一行，这在实际中并不普遍。因此，正确的理解是矩阵的诱导无穷范数是所有行向量绝对值之和的最大值，而非每列绝对值之和。