旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式

发布网友发布时间：2024-08-25 18:01

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热心网友时间：2024-08-25 18:15

从二维空间的旋转公式扩展到三维，我们得到了罗德里格旋转公式，它是描述三维空间中旋转的关键工具。该公式主要用于理解一个向量 [公式] 在绕单位向量 [公式] 旋转 [公式] 角度时的变化。

首先，将 [公式] 分解为与旋转轴平行的 [公式] 和 [公式] 。[公式] 的旋转不会改变其在旋转轴上的分量，而沿着旋转轴的向量 [formula] 旋转后为 [formula] 。利用正交投影原理，可以将旋转视为2D空间的组合，通过基向量 [formula] 和 [formula] 来描述，其中 [formula] 是通过 [formula] 和 [formula] 的叉乘得到，遵循右手坐标系规则。

当 [formula] 与旋转轴 [formula] 垂直时，旋转后的向量 [formula] 可以通过以下公式计算：[formula]。最终，将所有情况结合起来，三维向量 [formula] 经过旋转后的表达式为：[formula]。这就是罗德里格旋转公式，它直观地展示了向量在三维空间中旋转的数学描述。

通过这个公式，我们可以准确地计算任何单位向量 [formula] 在旋转 [formula] 度后的结果，是三维旋转理论中的核心内容。对于更深入的理解，可以参考罗德里格斯公式和四元数与三维旋转的相关资料。