初联几何100题(24)
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发布时间：2024-08-20 17:55
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时间：2024-08-22 04:40
求证：（1）CL⊥MN ；（2）∠MON=∠BPM .
第一问的解答：
首先，我们精简图面，将多余的线去掉，这样图面更加清爽。
解法一：运用倒角的思路，如果结论成立，观察图中绿色角相等。通过构造三角形全等或相似来证角相等，我们发现包含绿色角的三角形中已经有相似的组合存在：ΔABM~ΔNCM~ΔNDA，但它们都不包含∠BCL。因此，我们需要构造一个含有∠BCL且与上述三角形相似的三角形。我们可以通过寻找直角来实现这一目标。延长CL与AB延长线交于E点。这时，ΔACE满足条件，结论转化为求证这个三角形与上述3个三角形之一相似。要使角相等，我们需要尽可能从对应边成比例证明相似。围绕直角，我们得到边长比例式为：BE/BC=BM/AB=CM/CN=AD/DN。观察到BE、CN、DN、BM、CM这些线段，我们可以尝试使用梅涅劳斯定理，以线段DML截ΔBCN，得到等式BM/MC*CM/CN*NL/LB=1。进一步简化得到AB/BE=DN/CD，即BC/BE=DN/AD，这意味着ΔADN~ΔEBC，已知条件和结论会师。
解法二：考虑旋转的思路。因为AD=CD且∠ADC为直角，将ΔADN顺时针旋转90度，边AN转到直线CL上，必然与原始的AN垂直。按照这个思路，延长AD与LC延长线交于F点，结论转化为求证ΔADN≌ΔCDF。尝试证两条相邻的边DF=DN，因为BC//DF，所以DF/MC=DL/ML。我们寻找或构造一条线段使DN和它的比值等于DL/ML，于是作MG//DN交BN于G，MG即是我们寻找的线段。因此，DN/MG=DL/ML=DF/MC，结论转化为求证MG=MC。利用ΔBMG~ΔBCN,ΔABM~ΔNCM，容易得到MG/BM=CN/BC=CN/AB=MC/BM，所以MG=MC，已知条件和结论会师。
第二问的解答：
解法一：观察要求证的两个角，难点在于如何将它们转换在一起。由∠P和∠BLP互余，作BE⟂PL，∠P转换为∠LBE。这时，对正方形中心特殊性的熟悉程度至关重要。因为∠OCB=45⁰，且BC/OC=[公式] ，将ΔOCM顺时针旋转45度，边长放大 [公式] ，得到的相似三角形顶点将与B,C重合，另一顶点则落在BN上。因此，作MG//CN交BN于G，连CG。则CG//BD，ΔMCG为等腰直角三角形，CG/MC=BC/OC=[公式] 。因此ΔBMG~ΔBCN，∠LBM=∠MOC。因此，结论转化为求证∠MBE=∠CON，而∠MBE=∠MDC，所以需要证明∠CON=∠MDC。寻找相似来证角相等，因为∠OCG=∠DCM=90⁰，所以ΔOCF~ΔDCM。结论转化为求证MC/CF=[公式] 。从CG//BD，OB=OD可知，CF=FG，ΔMCF为等腰直角三角形,MC/CF=[公式] 。已知条件和结论会师。
解法二：直接从已知条件入手，ΔABM~ΔNDA，得到BM/AB=AD/DN，利用正方形中心的特殊性（对角线和边长的比值，45度的夹角），观察并联想到：BM/BO=BD/DN,ΔMBO~ΔBDN，BM/BD=OD/DN,ΔMBD~ΔODN。由①得到∠DON=∠BMD，O、E、M、B四点共圆，∠MON=∠MBE；由②得到∠BOM=∠BND=∠PBM。因此，∠BOM=∠BEM=∠PBM，顺利得到∠MBE=∠P。
总结：这道题的难度在于对正方形对应边的比例关系、夹角的等量等比关系有着深入的了解，才能巧妙地构造出所需的全等和相似三角形。
