机器学习 | Schatten范数

发布网友 发布时间：2024-09-05 04:34

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热心网友 时间：2024-09-28 18:20

在机器学习的数学工具箱中，Schatten范数堪称低秩问题解决的得力助手。它源于矩阵奇异值的精妙构造，包括核范数（矩阵奇异值之和的直观体现）、Ky Fan范数（根据所需奇异值的数量进行定制），以及更为通用的Schatten-p范数，后者是奇异值特定指数和的优雅表达。

核范数，以其简明的定义——矩阵奇异值之和，频繁地在机器学习的等价秩最小化问题中扮演关键角色。它的使用使得复杂的低秩问题变得简洁，有助于简化求解过程。举个例子，计算矩阵的核范数，就是对矩阵奇异值进行加总，这是它在优化中的基础应用。

Schatten-p范数则更加灵活，它将奇异值的幂和纳入考量，尤其在矩阵恢复这类任务中，其优势更加明显。想要获取一个给定矩阵的Schatten-p范数，必须首先进行奇异值分解，这一步骤揭示了其在低秩问题中的深度利用。与核范数的全局最优不同，Schatten范数最小化问题具有非凸特性，寻找的是局部最优解，而非全局。NeurIPS 2019的研究突破就在这里，论文《因子群稀疏正则化：高效低秩矩阵恢复》（Factor Group-Sparse Regularization for Efficient Low-Rank Matrix Recovery, NeurIPS 2019）提出了创新的方法，借助ADMM技术，巧妙地解决了这个问题。更详细的公式和实现细节，你可以参考论文的PDF版本和Matlab代码链接，但请注意链接内容未在此处展示。

总的来说，Schatten范数凭借其灵活性和在低秩问题中的强大适应性，为机器学习提供了强大的理论支持和实际应用。尽管它带来了挑战，但正是这些挑战促使研究者不断寻求新的优化策略，推动了领域的进步。

热心网友 时间：2024-09-28 18:16

在机器学习的数学工具箱中，Schatten范数堪称低秩问题解决的得力助手。它源于矩阵奇异值的精妙构造，包括核范数（矩阵奇异值之和的直观体现）、Ky Fan范数（根据所需奇异值的数量进行定制），以及更为通用的Schatten-p范数，后者是奇异值特定指数和的优雅表达。

核范数，以其简明的定义——矩阵奇异值之和，频繁地在机器学习的等价秩最小化问题中扮演关键角色。它的使用使得复杂的低秩问题变得简洁，有助于简化求解过程。举个例子，计算矩阵的核范数，就是对矩阵奇异值进行加总，这是它在优化中的基础应用。

Schatten-p范数则更加灵活，它将奇异值的幂和纳入考量，尤其在矩阵恢复这类任务中，其优势更加明显。想要获取一个给定矩阵的Schatten-p范数，必须首先进行奇异值分解，这一步骤揭示了其在低秩问题中的深度利用。与核范数的全局最优不同，Schatten范数最小化问题具有非凸特性，寻找的是局部最优解，而非全局。NeurIPS 2019的研究突破就在这里，论文《因子群稀疏正则化：高效低秩矩阵恢复》（Factor Group-Sparse Regularization for Efficient Low-Rank Matrix Recovery, NeurIPS 2019）提出了创新的方法，借助ADMM技术，巧妙地解决了这个问题。更详细的公式和实现细节，你可以参考论文的PDF版本和Matlab代码链接，但请注意链接内容未在此处展示。

总的来说，Schatten范数凭借其灵活性和在低秩问题中的强大适应性，为机器学习提供了强大的理论支持和实际应用。尽管它带来了挑战，但正是这些挑战促使研究者不断寻求新的优化策略，推动了领域的进步。