随机过程 笔记2泊松过程
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发布时间：2024-08-20 23:21
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时间：2024-09-01 06:04
定义：随机过程[公式]表示从[公式]到[公式]时间内事件[公式]发生的次数，满足[公式]且取值为整数，当[公式]时，[公式]且[公式]表示[公式]时间内事件[公式]发生的次数，那么[公式]是一个计数过程。随机过程[公式]满足以下三条件：1. [公式]是计数过程，且[公式]2. 平稳独立增量过程3. 存在[公式]使[公式]或者3. 存在[公式]使[公式]那么[公式]是一个泊松过程。
平稳过程保证了随着时间变动，泊松过程产生的随机变量是同分布的，而独立增量过程则保证了随着时间变动前后过程的独立性，所以平稳独立增量就可以理解成连续情形下的[公式]。在随机过程中，基于平稳独立增量过程的条件，我们往往可以通过类似在一个小区间[公式]中发生事件的个数，能够推出整个随机过程的信息。
观察泊松过程的样本路径，记[公式]表示第[公式]次和第[公式]次事件发生的时间间隔，再记[公式]表示第n次事件发生的时刻。
定理：[公式]是服从参数为[公式]的指数分布。[公式]是服从参数为[公式]和[公式]的[公式]分布。
指数分布是连续性随机变量中唯一一个具有无记忆性的分布。上面两个定理形象地刻画了泊松分布的特点，同时也是泊松分布的充分性描述，写成如下定理：若[公式]是服从参数为[公式]的指数分布，[公式]则[公式]为泊松过程。
也可以用均匀分布来刻画泊松过程，定理：（泊松过程和均匀分布）设[公式]是[公式]的[公式]上的均匀分布。那么[公式]的顺序统计量联合分布就是条件分布[公式]。
所以我们也可以用均匀分布来产生泊松过程了，泊松过程还是很容易产生的。再说明一下过程的稀疏(thinning)，定理：（稀疏）设[公式]表示Poisson过程，如果每个事件被记录的概率是[公式]，且是否被记录是互相独立的，则被记录的事件[公式]是强度为[公式]的Poisson过程。
可以发现泊松过程在经过稀疏过后仍然是泊松过程，只不过是参数减小为[公式]了。
非齐次泊松过程，复合泊松过程用途就很多了。
定义：计数过程[公式]，满足1. [公式]2. 独立增量过程3. 存在[公式][公式]或者3. [公式]是具有参数[公式]的泊松分布。
非齐次泊松过程由于强度与时间相关了，自然不具有平稳性。定义第3条两个叙述的等价性文献中会有说明。
定义：如果[公式]是一列独立同分布的随机变量，且与[公式]独立，则称过程[公式]为复合泊松过程。定理：复合泊松过程[公式]具有如下性质，1. 是平稳独立增量过程2. 若[公式]，则[公式]。
定理的证明用到了的技巧在泊松的定义等价性中也用到。
定义：条件泊松过程
接下来介绍由泊松过程推广而来的更新过程。
