整除整除与除尽的区别与联系

发布网友发布时间：2024-08-17 14:59

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热心网友时间：2024-08-17 15:16

整除与除尽是数论中的两个概念，它们既有区别又有内在的联系。当我们说一个数a能被另一个数b（b不为零）除尽时，意味着商是整数或者有限小数，同时余数为零。这意味着整除的条件更为严格：被除数、除数和商都必须是整数，且余数为零。相比之下，除尽的范围更广，允许被除数和除数是整数或有限小数，只要余数为零即可。

尽管有所区别，整除确实是除尽的一个特例。以下是整除的一些基本性质：

如果a可以整除b（记作a|b），且a也可以整除c（记作a|c），那么a也可以整除b±c，前提条件是b>c。
如果a可以整除b，那么对于任何不为零的c，a也可以整除bc。
对于任何整数a，1和±a都可以被a整除。
如果a可以整除b，且b可以整除a，那么a和b的绝对值相等，即|a|=|b|。

整除理论的基础是带余除法定理，它表明对于任意整数a和b（b大于0），存在唯一的整数q和r（0≤r<b），使得a=bq+r。这个定理为我们理解整除关系提供了关键的工具。

当c可以整除a和b时，称c为a和b的公因数。若存在一个公因数d，它可以被a和b的所有公因数整除，那么d就是a和b的最大公因数。如果a和b的最大公因数为1，我们称它们互素。辗转相除法，也称为欧几里得算法，就是通过反复利用带余除法来求得两个数的最大公因数的常见方法。

扩展资料

整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作a/b，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质；（1）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；（2）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．