已知某曲线过点(1.1),它的切线方程在纵坐上的截距等于切点的横坐标...

发布网友发布时间：2024-07-13 10:24

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热心网友时间：2024-07-25 18:50

设切线方程为y=y'x+b
b为切线方程在纵坐上的截距，即切点的横坐标，
则切点为(b,y'b+b)

所以曲线的切线方程为y-b=y'(x-y'b-b)
y=y'x+[-b(y')^2-by'+b]
-b(y')^2-by'+b=b
b(y')^2+by'=0
b=0或y'=-1

1.
b=0时，
切线方程为y=y'x
两边积分：
yx=y(1/2)x^2+c
曲线过点(1,1)，所以
1=(1/2)+c
c=1/2
所以曲线的切线方程为
yx=(1/2)yx^2+1/2
即2yx=yx^2+1；

2.
y'=-1时，
切线方程为y=-x+b
两边积分：
yx=-(1/2)x^2+bx+c
曲线过点(1,1)，所以
1=(1/2)+b+c
b+c=1/2
又切点为(b,y'b+b)即(b,0)也在曲线上，
0=-(1/2)b^2+b^2+c
0=(1/2)b^2+c
b^2-2b+1=0
b=1,c=-1/2
所以曲线的切线方程为
yx=-(1/2)x^2+x-1/2

热心网友时间：2024-07-25 18:43

设切点是（x,y),设函数y的图像是此曲线
所以切线方程是Y-1=y'(X-1),令X=0,则Y=1-y'
由题意，得1-y'=x,y'=1-x,两边同时积分，得y=x-(x^2)/2+C
因为曲线过点（1，1），所以C=1/2
所以它的方程是y=x-(x^2)/2+1/2