轮换式对称式的因式分解

发布网友发布时间：2024-08-07 07:30

我来回答

共1个回答

热心网友时间：2024-08-15 23:50

分解因式时，我们有时会遇到二元对称式，如x4+(x+y)4+y4。这类式子可以通过将它表示为基本对称式x+y和xy的函数，如x2+y2=(x+y)2-2xy，然后逐步分解。对于例1，我们有

(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 - y4

将其重新组合，得到原式 = (x+y)4 - 4xy(x+y)2 + 2x2y2 + (x+y)4 - 4xy4，进一步简化为

= 2[(x+y)4 - 2xy(x+y)2 + (xy)2]

= 2[(x+y)2 - xy]2。

对于轮换对称式，如a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b)，这种式子保持不变的性质，可通过替换变量来验证。我们可以使用因式定理进行分解，以a为主元，该多项式在a=b和a=c时值为零，因此a-b和a-c是因式。同样的方法应用于b和c，得到b-c和c-a也是因式。对于三次多项式，还剩下一个因式，轮换对称性提示我们这个因式可能是a+b+c。例如在例3中，设多项式为a3(b-c) + b3(c-a) + c3(a-b) = k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)。通过取a=0, b=1, c=-1，我们可以求得k=-1，从而得到

a3(b-c) + b3(c-a) + c3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)。

扩展资料

轮换式是一个数学定义。即如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式，简称轮换式。