证明不等式,ln(1+x)≥x/x+1
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发布时间：2024-07-16 01:03
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时间：2024-08-09 02:42
证明：
构造函数f(x)=ln(1+x)-x
则 f '(x) = 1/(1+x) - 1 < 0 (∵x>0)
所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 f(x) < f(0) = 0 即 ln(1+x) < x
构造函数g(x) = x/(1+x) - ln(1+x)
则 g ' (x) = 1/(1+x)^2 - 1/(1+x) = - x /(1+x)^2 < 0
所以 g(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 g(x) < g(0) = 0 即 x/(1+x) < ln(1+x)
综上所述，结论成立
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；
②如果x>y，y>z；那么x>z；
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；
⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
⑦如果x>y>0，xn>yn（n为正数)，xn<yn（n为负数）。
