二次曲面介绍
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发布时间：2024-07-22 12:39
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时间：2024-08-04 09:31
在欧氏三维空间中，由三个变量x, y, z的二次方程（实数系数且二次项系数不全为零）所定义的曲面被称为二次曲面。通常，直线与二次曲面的交点不会超过两个，若超过，直线将完全位于曲面上，这种情况下的直线称为曲面的母线。当平行平面截取二次曲面时，截线呈现出二次曲线的特性。
二次曲面的性质各异，曲面方程F(x,y,z)=0中的点(x0,y0,z0)如果是奇异点，就称为奇点，否则为寻常点。寻常点处的切线构成一个平面，称为切面，与切面垂直的直线则为法线。在寻常点，曲面的切面方程和法线方程与曲面上其他两点间的线段（弦）有着密切关联。弦的方向若是曲面的奇异方向，即满足特定条件，否则为寻常方向。具有寻常方向的平行弦中点总会落在同一平面上，这个平面被称为径平面，其共轭方向与弦的方向有关。
二次曲面的常见类型包括椭圆面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆柱面、双曲柱面等，它们各自有自己的旋转形式，如以z轴为旋转轴的旋转曲面。其中，特定情况下，如x²+y²+z²+1=0，曲面可能是空集。抛物面、抛物柱面等也有各自的特征，如旋转椭圆抛物面、双曲抛物面等。
二次曲面还可以分为实锥面、直圆锥面、虚锥面等，具体取决于系数的符号。此外，还有虚椭圆面、虚椭圆柱面、相交虚平面和平行虚平面等特殊情况。这些曲面的分类主要通过方程组的秩数进行区分，总共有17种可能的情况。
在特定的二次曲面中，如(8)、(11)、(10)，主平面x=0,y=0,z=0或(3)、(4)的x=0,y=0，被称为主平面，其交线为主轴。旋转曲面的主平面位置不固定。标准方程中的α、b、c是半主轴的长度。双曲面和双曲抛物面具有两族母线，是直纹曲面，而二次柱面和二次锥面则只有一族母线。某些旋转曲面如单叶双曲面、圆柱面和直圆锥面，既是直纹曲面又是旋转曲面。
扩展资料
一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。
