求解:y"=e^(2y),当x=0,y=0,y'=0的特解。

发布网友发布时间：2024-07-22 11:37

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热心网友时间：2024-07-29 15:30

设p=y',则y''=dy'/dx=pdp/dy

代入原方程得p^2=e^(2y)+C

由y(0)=y'(0)=0得C=-1

所以y=ln√(p^2+1)

两边求导得y'=p=[p/(p^2+1)]dp/dx

于是x=arctanp+C=arctanp

即y'=tanx

从而可得y=-ln|cosx|+C=-ln|cosx|

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

热心网友时间：2024-07-29 15:35

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友时间：2024-07-29 15:30

令p=y'=dy/dt,那么有：
y''=dp/dt=(dp/dy)(dy/dt)=pdp/dy
将上述结果代入原方程得到：
p(dp/dy)=exp(2y)
分离变量得到：
pdp=exp(2y)dy
等式两侧取不定积分得到：
p²/2=[exp(2y)]/2+M···········································M为任意常数
整理得到：y'=dy/dt=p=√[exp(2y)+N]·····································N为任意常数,N=2M
代入初始条件解得：N=-1
再次分离变量得到：
dy/√[exp(2y)-1]=dt····················································※·
令y=lnθ,即θ=exp(y),等式两边取微分得到：dy=dθ/θ
将以上结果代入方程※,得到：
dθ/[θ√(θ²-1)]=dt······················································✿
利用换元积分法,令θ=secδ,同理等式两边取微分得到：dθ=secδtanδdδ,代入方程✿,得到：
dδ=dt
两边积分得到：
δ=t+L···········································L为任意常数
所以有：
exp(y)=θ=secδ=sec(t+L)
代入初始条件得到：L=0
所以有题目方程的特exp(y)=sect 或者y=ln|sect|