如何通过欧拉公式、向量和几何方法证明正弦和余弦的和角公式?
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发布时间：2024-07-22 10:10
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时间：2024-08-09 00:09
法一：欧拉公式提供了直观的证明。根据欧拉公式，我们有 e^(ix) = cosx + isinx。当我们将x设为和角a+b，即 e^(i(a+b))，根据乘积规则，我们得到：
e^(i(a+b)) = e^ia * e^ib = (cosa + isina) * (cosb + isinb)
展开后，利用复数乘法规则，我们得到：
= (cosa * cosb - sinasinb) + i(sinacosb + sinbcosa)
实部对应的就是 cos(a+b)，虚部对应 sin(a+b)，所以有：
cos(a+b) = cosa * cosb - sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
法二：从向量的角度，以x轴为基准，角α和角β的终边单位向量a和b可以表示为 a=(cosα, sinα)和 b=(cosβ, sinβ)。通过向量点积公式，我们得知：
a·b = |a||b|cos
cos(α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
将β替换为-β，我们得到 cos(α+β)的和角公式：
cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
法三：几何证明中，通过图形直观解释，如右图所示。当使用差角公式 cos(β-α)并将β替换为-β，我们得到和角公式：
cos(β+α) = cosβcosα - sinβsinα
以上各方法都从不同角度展示了和角公式的证明过程。
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法一：欧拉公式提供了直观的证明。根据欧拉公式，我们有 e^(ix) = cosx + isinx。当我们将x设为和角a+b，即 e^(i(a+b))，根据乘积规则，我们得到：e^(i(a+b)) = e^ia * e^ib = (cosa + isina) * (cosb + isinb)展开后，利用复数乘法规则，我们得到：= (cosa * cosb - si...
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