为什么齐次线性方程组有n-r个线性无关解

发布网友发布时间：2024-09-15 01:16

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热心网友时间：2024-11-29 13:12

因为对于实矩阵A，expAt必为n阶方阵，而方程的实数域下的解为expAt的列向量线性组合，这个可以用矩阵函数来证明。
对于A和矩阵运算f，若A的最小多项式的根为n个（不论是否重根）分别为s1,s2,s3...,sn，必存在一个多项式函数g，使得g(s)=f(s),g'(s)=f'(s),g''(s)=f''(s).....直到g(s)的n阶导=f(s)的n阶导对于所有的s1,s2,....,sn都成立，则g(A)=f(A)。这里f（A）就是expAt，因为g是一个多项式函数，对于n阶方阵A，无论A的多少次方都还是n阶方阵，加起来也还是n阶方阵，所以expAt=g(A)必为n阶方阵。
又有对于任意满秩n阶方阵A，expAt的列向量必然线性无关，所以expAt一定有n个现行无关的列向量，其任意组合为n阶齐次方程组的线性无关解。