证明不等式的4大方法

发布网友发布时间：2024-09-15 09:38

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热心网友时间：2024-11-07 07:57

1、比较法（作差法）: 在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。例1、已知：，，求证：。证明：，故得。
2、分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。例2、求证：。证明：要证，即证，即，，，，，由此逆推即得。
3、综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。例3、已知：，同号，求证：。证明：因为，同号，所以，，则，即。
4、作商法（作比法）在证题时，一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。例4、设，求证：。证明：因为，所以，。而，故。
5、反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。例5、已知，是大于1的整数，求证：。证明：假设，则，即，故，这与已知矛盾，所以。
6、迭合法（降元法）把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。例6、已知：，，求证：。证明：因为，，所以，。由柯西不等式，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例7、求证：。证明：令，则，所以。
8、数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。例8、已知：，，，求证：。证明：
（1）当时，，不等式成立；（2）若时，成立，则 =，即成立。根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立。 9、换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。例9、已知：，求证：。证明：设，，则，（因为，），所以。