自动控制原理——奈氏图的绘制
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发布时间：2024-09-19 08:03
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时间：2024-10-06 02:57
一、频率特性
1.1 引入频率分析法的原因
根轨迹和时域分析法，需要求解系统的解析式，如闭环特征方程的极点和零点，根轨迹中设计的分离点等，但是对于一些高阶系统而言，这样的求解通常是困难的。所以有没有这样一种不需要知道求解系统的具体参数和表达式，通过比较输入和输出的特性，来很好的知道系统的特性呢？ 频域法就是这样一种方法，它将系统看作成一种处理信号的黑箱子，以正弦波为基本激励信号建立系统的输入输出特性。
1.2 何为频率分析法
频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入，通过研究系统的频率响应特性来分析系统性能，称为频率特性分析法。
1.3 频率特性
一个稳定的线性系统在正弦信号作用下的稳态响应是一个频率相同，幅值和相位不同的正弦信号。输出和输入的振幅之比 [公式] 为幅频特性。输出信号与输入信号的相位之差 [公式] 为相频特性。
频率特性与传递函数的关系：[公式] 幅频特性: [公式] 相频特性: [公式]
这其中的p是微分算子，即[公式]
频率特性有如下四种表!
[公式] 在复平面上的表示为
关于频率特性，有以下几个注意事项，这也是很多同学容易混淆的地方。 频率特性反应的是系统的动态特性，是将输入信号的频率 [公式] 从0增加到无穷大，然后来观察输出信号与输入信号的幅值比和相位差，将其一同描绘在一张图纸上后，就可以得到幅相特性曲线图，这也是我们常说的奈氏图。 频率特性曲线的反应与系统本身的性能有关，它取决于系统的结构和参数。这也是为什么能用频率特性来研究的原因。
二、奈奎斯特图的绘制
奈氏图同时反应幅频特性和相频特性。要学会绘制奈氏图，我们必须先了解一下典型环节的奈氏图。
2.1 最小相位典型环节的奈氏图
典型环节分为两大类，一类是最小相位环节，一类是非最小相位环节。间断的来说一下二者的区别，如果系统开环传递函数中，有在右半平面的极点或零点，或者包含延迟环节，则称此系统为“非最小相位系统“，否则称为“最小相位系统”。 以下示例的是最小相位系统。
关于振荡环节，PPT将其遮挡掉了一部分，这里详细再展开说明一下。
由上图可以看出，这里的[公式] 对于特定的系统由某个固定的常数，因此我们分析当 [公式] 从0增加至无穷大;当 [公式] 时， [公式] ；当 [公式] , [公式] ；当 [公式] 趋向于无穷大时， [公式] ， [公式] . 因此在振荡环节中，不同的 [公式] 值会影响振荡环节的奈氏图。因此由下图所示的二阶振荡图
对[公式] 进行讨论 当ω增大时，幅频特性 [公式] 并不是单调减小，而是先增大，达到个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率 [公式] .，所对应的向量长度为谐振峰值 [公式] .谐振表明系统对频率下的正弦信号的放大作用最强。 求最大值，我们很自然的可以想到令 [公式] 从而分别得出谐振频率和谐振峰值。
其中[公式] 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它是频率特性曲线与虚轴的交点处的频率。
来简单总结说明一下奈氏图是如何绘制的吧。其实很好理解。 奈氏图就是将幅频特性和相频特性反映在一张图纸上，所以我们要先分别写出幅频特性和相频特性的表达式。 然后分别将[公式] 从0增加至无穷，来得到 [公式] 和 [公式] 的变化。
2.2 最小相位系统的奈氏绘制
我们先以最小相位系统为例，然后再用具体的例子来说明奈氏曲线的绘制。首先我们知道一个系统通常可以拆分为各个典型系统的串联组合。
上式表明。开环系统的幅频特性等于各典型环节幅频特性之积。开环系统的相频特性等于各典型环节相频特性之和。 因此我们只需要将一个系统拆解为各个典型系统，化整为零，利用典型环节的性质，从而画出整个系统的图像。 首先是确定奈氏图的起点 起点的角度由纯积分环节的个数决定，一个积分环节提供[公式] 的相位偏移，当不存在纯积分环节的时候， [公式] ，起点为正实轴的K处。
由此我们可以总结出不同个数的积分的最小相位奈氏图如下图所示。注意：当[公式] 大于3时，对其进行除4取余判断。
奈氏图的终点就需要综合综合分子分母的最小相位环节个数进行判断。其实这里根据我的做题经验，不需要将原来的系统传递函数进行拆分，只需要观察分子和分母中[公式] 的最高阶次数即可，令分子的最高阶次数为 [公式] ，分母的最高阶次数为 [公式] ，有如下的总结。
画完了起点和终点的趋势，那么剩下的就是奈氏图中间的走势，这里的中间走势需要描绘出一些特殊点和奈氏图经过了哪些象限，以及奈氏曲线的单调性如何。 特殊点是指奈氏图与坐标轴相交的点，主要的计算方法是将频率特性表达式化成实部与虚部的形式。要计算曲线与实轴的交点，则需要令虚部为0，求出交点[公式] ，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。如要计算曲线与虚轴的交点处的频率则要令实部为0。
说了这么多，我们直接来一道例题来综合巩固以下上面的知识点。
我们先来看一下课本给出的例题答案，它是将传递函数化成实部加虚部的形式，然后再来绘制奈氏图。
这个方法可行，但我个人认为化成实部和虚部相加的这一步较为繁琐，容易做错，因此我通常采取下面的做法，这也是我考试中一直采用的，该做法相对于上述做法简单了不少，而且正确率也能大大提高。
2.3 非最小相位系统的典型环节
非最小相位系统包括一下几个环节
其实他们的绘制方法还是一样的，无非这里有很多人搞不明白一些非最小相位系统的相频表达式 [公式] 如何求。 比如以下两个非最小相位系统的典型环节，图中的红色框图部分，
下面我来辨析一下[公式] 和 [公式] 的相频表达式的区别。 首先需要知道相频表达式是分子的角度减去分母的角度，很明显这两个表达式分子的角度都是为零。 而对于分母的角度我们需要通过实部和虚部的正负号来判断所在象限。然后通过画图来找角度。
注意角度是在0到180度之间，所以不是上图黑色部分表示的角度[公式] 。
三、总结
step1 将传递函数拆分为典型环节的相乘形式
step2 写出传递函数的幅频特性(典型环节之积)和相频特性（典型环节之和，分子角度减去分母角度）
step3 分析奈氏曲线的起点、终点和特殊点(与坐标轴相交的点)
step4 分析奈氏曲线经过的象限
