求三元函数偏导数
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发布时间：2022-05-06 19:24
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热心网友
时间：2022-07-01 22:25
求三元函数偏导数使用隐函数求导法则。
多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用。
x方向的偏导：
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数。
记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
y方向的偏导：
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
以上内容参考：百度百科-偏导数
热心网友
时间：2022-07-01 22:26
n元函数的一阶偏导数有n个，构成一个n维向量。三元函数的一阶偏导数有三个，构成一个三维向量。
^^用隐函数求导法则：
设F=e^z-xyz，则Fx(F对x的偏导)=-yz,Fz(F对z的偏导)=e^z-xy
δz/δx=-Fx/Fz=yz/(e^z-xy),在求二阶偏导时，一定要注意，一阶偏导中的z是x,y的函数,
用商的求导法则对一阶偏导求导，则
(δ^2z)/δx^2={y(δz/δx)(e^z-xy)-yz[(e^z)(δz/δx)-y]}/[(e^z-xy)^2]
δz/δx=yz/(e^z-xy)代入上式，即得(δ^2z)/δx^2
扩展资料：
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
参考资料来源：百度百科-偏导数
热心网友
时间：2022-07-01 22:26
如上图所示。
热心网友
时间：2022-07-01 22:27
^^用隐函数求导法则：
设F=e^z-xyz，则Fx(F对x的偏导)=-yz,Fz(F对z的偏导)=e^z-xy
δz/δx=-Fx/Fz=yz/(e^z-xy),在求二阶偏导时，一定要注意，一阶偏导中的z是x,y的函数,
用商的求导法则对一阶偏导求导，则
(δ^2z)/δx^2={y(δz/δx)(e^z-xy)-yz[(e^z)(δz/δx)-y]}/[(e^z-xy)^2]
δz/δx=yz/(e^z-xy)代入上式，即得(δ^2z)/δx^2
扩展资料：
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
热心网友
时间：2022-07-01 22:27
在一个多变量的函数中，偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定不变。
假定二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y), 点(x_0, y_0)是其定义域内的一个点，将y固定在 y 0 y_0 y
0
上，而x在 x 0 x_0 x
0
上增量 △ x \triangle x △x,
相应的函数z有增量 △ z = f ( x 0 + △ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \triangle z = f(x_0 + \triangle x, y_0) - f(x_0, y_0) △z=f(x
0
+△x,y
0
)−f(x
0
,y
0
)
△ z \triangle z △z 和 △ x \triangle x △x的比值当 △ x \triangle x △x的值趋近于0的时候，如果极限存在，那么此极限称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 x 0 , y 0 x_0,y_0 x
0
,y
0
处对x的偏导数(partial derivative),
记为： f x ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0, y_0) f
x
′
(x
0
,y
0
)
对x的偏导数： ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0, y=y_0}
∂x
∂f
∣
∣
∣
x=x
0
,y=y
0
对y的偏导数： ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 , y = y 0 \left.\frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x=x_0, y=y_0}
∂y
∂f
∣
∣
∣
x=x
0
,y=y
0
三元函数的偏导数
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) u = f(x,y,z) u=f(x,y,z)可类似求偏导数，定义u在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0, y_0, z_0) P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)分别对x,y,z的偏导数
f x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim △ x → 0 f ( x 0 + △ x , y 0 , z 0 ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ x f_x'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x, y_0, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle x} f
x
′
(x
0
,y
0
,z
0
)=lim
△x→0
△x
f(x
0
+△x,y
0
,z
0
)−f(x
0
,y
0
,z
0
)
f y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim △ y → 0 f ( x 0 , y 0 + △ y , z 0 ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ y f_y'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \triangle y, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle y} f
y
′
(x
0
,y
0
,z
0
)=lim
△y→0
△y
f(x
0
,y
0
+△y,z
0
)−f(x
0
,y
0
,z
0
)
f z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim △ z → 0 f ( x 0 , y 0 , z 0 + △ x ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ z f_z'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle z \to 0} \frac{f(x_0, y_0, z_0 + \triangle x) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle z} f
z
′
(x
0
,y
0
,z
0
)=lim
△z→0
△z
f(x
0
,y
0
,z
0
+△x)−f(x
0
,y
0
,z
0
)
偏导数是多元函数对其中某一个自变量(其余自变量视为常量)的变化率
案例
求 z = x 2 + 3 x y + y 2 z=x^2 + 3xy + y^2 z=x
2
+3xy+y
2
在点(1,2)处的偏导数
解法1：
∂ z ∂ x = 2 x + 3 y \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y
∂x
∂z
=2x+3y
∂ z ∂ y = 3 x + 2 y \frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y
∂y
∂z
=3x+2y
∂ z ∂ x ∣ ( 1 , 2 ) = 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 = 8 \left.\frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = 2*1 + 3*2 = 8
∂x
∂z
∣
∣
(1,2)
=2∗1+3∗2=8
∂ z ∂ y ∣ ( 1 , 2 ) = 3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 = 7 \left.\frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = 3*1 + 2*2 = 7
∂y
∂z
∣
∣
∣
(1,2)
=3∗1+2∗2=7
解法2：
z ∣ y = 2 = x 2 + 6 x + 4 \left. z \right|_{y=2} = x^2 + 6x + 4 z∣
y=2
=x
2
+6x+4
∂ z ∂ x ∣ ( 1 , 2 ) = ( 2 x + 6 ) ∣ x = 1 = 8 \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = \left. (2x+6) \right|_{x=1} = 8
∂x
∂z
∣
∣
(1,2)
=(2x+6)∣
x=1
=8
z ∣ x = 1 = 1 + 3 y + y 2 \left. z \right|_{x=1} = 1 + 3y + y^2 z∣
x=1
=1+3y+y
2
∂ z ∂ y ∣ ( 1 , 2 ) = ( 3 + 2 y ) ∣ y = 2 = 7 \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = \left. (3+2y) \right|_{y=2} = 7
∂y
∂z
∣
∣
∣
(1,2)
=(3+2y)∣
y=2
=7
高阶偏导数
1 ） 二阶偏导
函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的二阶偏导数为：
有两大类，四小类
纯偏导
∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) = ∂ 2 z ∂ x 2 = f x x ′ ′ = f 11 ′ ′ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f''_{xx} = f''_{11}
∂x
∂
(
∂x
∂z
)=
∂x
2
∂
2
z
=f
xx
′′
=f
11
′′
∂ ∂ y ( ∂ z ∂ y ) = ∂ 2 z ∂ y 2 = f y y ′ ′ = f 22 ′ ′ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f''_{yy} = f''_{22}
∂y
∂
(
∂y
∂z
)=
∂y
2
∂
2
z
=f
yy
′′
=f
22
′′
混合偏导
∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) = ∂ 2 z ∂ x ∂ y = f x y ′ ′ = f 12 ′ ′ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = f''_{12}
∂y
∂
(
∂x
∂z
)=
∂x∂y
∂
2
z
=f
xy
′′
=f
12
′′
∂ ∂ x ( ∂ z ∂ y ) = ∂ 2 z ∂ y ∂ x = f y x ′ ′ = f 21 ′ ′ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = f''_{21}
∂x
∂
(
∂y
∂z
)=
∂y∂x
∂
2
z
=f
yx
′′
=f
21
′′
2 ) 类似可以定义更高阶的偏导数
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为： ∂ 3 z ∂ x 3 = ∂ ∂ x ( ∂ 2 z ∂ x 2 ) \frac{\partial^3 z}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2})
∂x
3
∂
3
z
=
∂x
∂
(
∂x
2
∂
2
z
)
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)关于x的n-1阶偏导数，再关于y的一阶偏导数为： ∂ n z ∂ x n − 1 ∂ y = ∂ z ∂ y ( ∂ n − 1 z ∂ x n − 1 ) \frac{\partial^n z}{\partial x^{n-1} \partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} (\frac{\partial^{n-1}z}{\partial x^{n-1}})
∂x
n−1
∂y
∂
n
z
=
∂y
∂z
(
∂x
n−1
∂
n−1
z
)
定义：二阶及以上的偏导数统称为高阶偏导数
方向导数
1 ） 向量
向量：是指具有n个相互独立的性质(维度)的对象的表示,向量常使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量, 比如： a ⃗ = O P ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ \vec{a} = \vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}
a
=
OP
=x
i
+y
j
+z
k
, 可以用坐标(i,j,k)表示向量a
向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，向量坐标到原点的距离，常记为： ∣ a ∣ |a| ∣a∣
单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量叫做单位向量
备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性
2 ) 向量的运算
设两向量为： a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec{a} = (x_1,y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
), 并且a和b之间的夹角为: θ \theta θ
数量积：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量/实数，记为： a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a} · \vec{b}
a
⋅
b
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∗ ∣ b ⃗ ∣ ∗ c o s θ \vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| * |\vec{b}| * cos \theta
a
⋅
b
=∣
a
∣∗∣
b
∣∗cosθ
向量积：两个向量的向量积(外积、叉积)是一个向量, 记为： a ⃗ × b ⃗ \vec{a} × \vec{b}
a
×
b
. 向量积即两个不共线的非零向量所在平面的一组法向量
∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∗ ∣ b ⃗ ∣ ∗ s i n θ |\vec{a} × \vec{b}| = |\vec{a}| * |\vec{b}| * sin \theta ∣
a
×
b
∣=∣
a
∣∗∣
b
∣∗sinθ
乘积的模为两个向量平移后组成的平行四边形的面积
法向量方向为两个向量所组成平面的垂线方向
知道两个向量，就可以求出两个向量的夹角 θ \theta θ
c o s θ = a ⃗ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 ∗ x 2 2 + y 2 2 cos \theta = \frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=
∣
a
∣∣
b
∣
a
b
=
x
1
2
+y
1
2
∗
x
2
2
+y
2
2
x
1
x
2
+y
1
y
2
3 ） 正交向量
正交向量：如果两个向量的点积为零，那么称这两个向量互为正交向量，在几何意义上来说，正交向量在二维/三维空间上其实就是两个向量相互垂直
如果两个或多个向量，它们的点积均为0，那么它们互相称为正交向量
4 ） 向量的方向角以及方向角的余弦
设在一个三维坐标轴下有一个向量 a ⃗ = O A ⃗ \vec{a} = \vec{OA}
a
=
OA
与x,y,z轴所成的夹角分为 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ, 这些就是方向角
c o s α = x 0 ∣ O A ⃗ ∣ cos \alpha = \frac{x_0}{|\vec{OA}|} cosα=
∣
OA
∣
x
0
，其中， x 0 x_0 x
0
是该向量映射到x轴的长度
c o s β = y 0 ∣ O A ⃗ ∣ cos \beta = \frac{y_0}{|\vec{OA}|} cosβ=
∣
OA
∣
y
0
，其中， y 0 y_0 y
0
是该向量映射到y轴的长度
c o s γ = z 0 ∣ O A ⃗ ∣ cos \gamma = \frac{z_0}{|\vec{OA}|} cosγ=
∣
OA
∣
z
0
，其中， z 0 z_0 z
0
是该向量映射到z轴的长度
可见， c o s 2 α + c o s 2 β + c o s 2 γ = 1 cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1 cos
2
α+cos
2
β+cos
2
γ=1
5 ） 方向导数
定义：若函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)处沿方向l(方向角为： α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ), 其中 ρ = ∣ P P ′ ∣ \rho = |PP'| ρ=∣PP
′
∣, 存在下列极限
lim ρ → 0 △ f ρ = lim ρ → 0 f ( x + △ x , y + △ y , z + △ z ) − f ( x , y , z ) ρ = ∂ f ∂ l \lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x + \triangle x, y + \triangle y, z + \triangle z) - f(x,y,z)}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial l} lim
ρ→0
ρ
△f
=lim
ρ→0
ρ
f(x+△x,y+△y,z+△z)−f(x,y,z)
=
∂l
∂f
其中， ρ = ( △ x ) 2 + ( △ y ) 2 + ( △ z ) 2 \rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2 + (\triangle z)^2} ρ=
(△x)
2
+(△y)
2
+(△z)
2
, △ x = ρ c o s α \triangle x = \rho cos \alpha △x=ρcosα, △ y = ρ c o s β \triangle y = \rho cos \beta △y=ρcosβ, △ z = ρ c o s γ \triangle z = \rho cos \gamma △z=ρcosγ
则称 ∂ f ∂ l \frac{\partial f}{\partial l}
∂l
∂f
为函数在点P处沿方向l的方向导数
