二分图充分必要条件
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发布时间：2024-08-20 17:12
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时间：2024-08-22 19:30
无向图G被称为二分图，当且仅当它满足两个关键条件：首先，图G至少包含两个顶点；其次，图中所有的回路长度必须为偶数。
首先，我们证明必要性。假设G为二分图，记为，由于X和Y都不为空，因此G至少有两顶点。对于任何回路C，设为C = (v0, v1, v2, ..., v_l-1, v_l = v0)，其顶点序列中，X和Y的顶点交替出现。如果我们将C分为两部分：{v0, v2, v4, ..., v_l}在X中，{v1, v3, v5, ..., v_l-1}在Y中，那么回路的长度l必须是偶数，因为X和Y交替，导致边的数量是偶数。
其次，我们证明充分性。假设G的所有回路长度都是偶数，而且G是连通的（如果G不连通，我们可以对每个连通分支独立讨论）。设G的顶点集为V，边集为E，构造X和Y如下：X包含从v0出发，或者与v0有偶数长度路径的顶点；Y则是V中除去X的部分。由于G至少有两个顶点且连通，X和Y都不为空。要证明没有任何边的两个端点同时在X或Y中，假设存在边(u, v)，u在X中，v也在X中，那么从v0到u和v0到v的路径长度都是偶数，这将形成从v0到v0的奇数长度回路，与假设矛盾。因此，这样的边(u, v)不存在，保证了X和Y的定义正确。
同样地，可以证明没有任何边的两个端点全在Y中。这完成了一半的充分性证明，另一半留给读者思考。总结来说，二分图的充分必要条件就是图中至少有两个顶点且所有回路长度为偶数。
扩展资料
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
