证明球极坐标的体积dτ=r2sinθdrdθdφ。

【答案】：可画出球极坐标下体积元dτ阴影部分：阴影部分可以近似看成是一个小立方体，因此体积元dτ即该立方体ABCD的体积。在图中，AO=r，AB=dr，AC≈EF=rsinθdφ，AD=rdθ。所以立方体ABCD的体积为：VABCD=AB·AC·AD=dr·rsinθdφ·rdθ=r2sinθdrdθdφ，即dτ=r2sinθdrdθdφ...

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：[1]dl(r)=dr, dl(φ)=rsinθdφ, dl(θ)=rdθ.球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r2sinθdθdφ.体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r2sinθdrdθdφ。

dS=dl(θ)× dl(φ)=r2sinθdθdφ 体积元的体积为：dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)= r2sinθdrdθdφ 对于球壳转动惯量：设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；dJ=ρ(Rsinθ)2 dS 球壳半径为常数，dS =R2sinθdθdφ J=2∫02∏∫0∏/2 ρ(Rsinθ)2...

用guldin公式重心轨迹长为2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面积dV=2/3*r(θ)三次方*sinθ积分即可。例如：r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为 [a(1 + cosθ)sinθ]^2 当θ变化到(θ+dθ)时，点在...

用球坐标系 V球=∫∫∫φ*(r*sinθ)*r*dr*dθ*dφ 其中,r 的积分限为0到R,φ的积分限为0到2π θ的积分限为0到π

由于积分区域是个球体，根据对称性知道，原式可以写成8倍在第一卦限的积分：原式=8∫∫∫（x+y+z）dV 然后用求坐标求就简单了：x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ，dV=r^2*sinθdrdθdφ 其中，r从0→a，θ和φ都是从0→π/2 被积函数变成=8（rsinθcosφ+rsinθsinφ+...

无论是极坐标下，还是直角坐标下，求积分，实际就是求面积。由于面积元可以认为极小，所以面积元可以看做是矩形。在极坐标系下，对应于一个极小的角度dθ，可以认为该角度对应弧形为直线，即为长方形的一边（根据弧形求解公式，可得r*dθ），长方形的另一边为dr ...

把极坐标x换成rcosθ ，y换成rsinθ。在做积分的时候，对坐标的变换雅克比式J=Xr XθYr Yθ ，这是个行列式 = cosθ -rsinθsinθ，rcosθ = rcosθ²+rsinθ²=r。x=rcosθ，y=rsinθ下，d(x,y)=|偏(x,y)/偏(r,θ)|drdθ，|偏(x,y)/偏(r,θ)|= cosθ，...

由积分求解：即将将球分成无穷个从球心发出的射线，利用积分求和，即可得到。具体，在高三数学书上就有，当然，高等数学书上也有详细介绍。V=∫∫∫dv=∫∫∫(ρ^2)sinθdρdθdφ R π 2π =∫(ρ^2)dρ=∫sinθdθ∫dφ 0 0 0 =[（1/3）R^3]*[(-cos(π))-(-cos(0))]*[...

rsinφcosθe^(r²)*r²sinφ drdφdθ =(1/a²)∫[0→π/2]cosθ dθ∫[0→π/2]sin²φ dφ∫[0→a]r³e^(r²)dr 三个积分可以各积各的，为了书写方便，我这里分开来写，你做题时可一起做 ∫[0→π/2]cosθ dθ =sinθ |[0→π/2...