超级详细的FFT算法(一)——离散傅里叶变换

发布网友发布时间：2024-08-18 14:16

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热心网友时间：2024-08-22 14:15

在深入学习FFT算法的过程中，我发现在实际应用如后量子签名Falcon中需要一个详细的代码实现解析，但网络上缺乏这样的资源。因此，我决定结合网络资料和个人理解，为大家撰写一篇关于离散傅里叶变换(DFT)的详尽解析，以供日后参考。

DFT的主要目标是实现多项式系数表示法和点值表示法之间的转换。在密码学中，常使用模不可约多项式组成的系数为有理数的多项式商环。离散傅里叶变换的核心原理是利用复数域中的单位根特性。如果设[公式]为[公式]次单位根，那么有[公式]的等式成立，这源于复数的几何意义，即单位圆上等分点的和为0。

对于度数[公式]的多项式[公式]，其离散傅里叶变换[公式]可以通过多项式性质和中国剩余定理的形式表示。选择单位根次方是因为它们的正负相关性和循环相等性便于递归和存储。

拉格朗日插值定理和中国剩余定理是恢复多项式系数的有效工具。拉格朗日插值定理以[公式]的形式呈现，与秦九韶公式等价，但更直观地帮助我们找回系数[公式]。

后续将深入讲解快速傅里叶变换(FFT)，它是DFT的高效版本，敬请期待。原创内容，期待你的理解和反馈。