为什么矩阵可以用特征值来求逆矩阵

这是由特征向量的定义决定的。以三阶矩阵为例：设A为三阶矩阵，它的三个特征值为m1，m2，m3，其对应的线性无关的特征向量为a1，a2，a3，则Aai=miai（i=1，2，3），所以A（a1，a2，a3）=（m1a1，m2a2，m3a3）=（a1，a2，a3）diag｛m1，m2，m3｝ 令P=（a1，a2，a3），B=diag｛m1，m2...

用初等行变换求逆矩阵的方法经常用到，就是就是对矩阵(A,E)进行初等行变换，使其变成(E,B),则B就是A的逆矩阵A(–1)。求解的原理是这样的：对矩阵A进行一次初等行变换相当于对矩阵A左乘一个初等矩阵Pi,那么对A进行一系列的行变换得到单位矩阵E，相当于左乘了一系列的初等矩阵P1、P2、...、Pi...

因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。设A是n阶方阵，如果数...

综上所述，逆矩阵A^-1与原矩阵A具有相同的特征向量，只是特征值发生了倒数的变化。逆矩阵可以保持特征向量的方向不变，但是特征值的倒数。这一关系在矩阵的特征分解和对角化过程中具有重要的应用。通过求解原矩阵的特征向量和特征值，可以得到逆矩阵的特征向量和特征值，进而对矩阵进行对角化运算和求解逆...

通过这两个等式，我们可以看到原矩阵特征值和逆矩阵特征值之间的关系。具体来说，如果λ是原矩阵的一个特征值，那么1/λ就是逆矩阵的一个特征值。这是因为原矩阵的特征向量x满足等式Ax = λx，而逆矩阵的特征向量y满足等式A^-1y = μy。如果我们将这两个等式结合起来，就可以得到μ = 1/λ。

5. 特征值法：对于一个n阶方阵A，如果它有n个不同的特征值，并且这些特征值都不为0，那么这个矩阵就是可逆的。这是因为一个矩阵的特征值和特征向量可以用来构造出该矩阵的逆矩阵。以上五种方法都可以用来证明一个矩阵是可逆的。在实际应用中，我们通常会根据具体的情况选择合适的方法进行证明。

4、利用特征值：如果矩阵 A 的所有特征值都不为零，则矩阵 A 可逆。矩阵的本质 从代数的角度来看，矩阵是一个二维数组，其中每个元素都是实数或复数。矩阵可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，这些运算可以看作是对矩阵元素的对应运算。从线性代数的角度来看，矩阵是线性变换的一种表示方式。在线性...

1、因为A和对角矩阵B相似，所以-1，2，y就是矩阵A的特征值 知λ=-2是A的特征值，因此必有y=-2。再由λ=2是A的特征值，知|2E-A|=4[22-2(x+1)+(x-2)]=0，得x=0。2、由 对λ=-1，由(-E-A)x=0得特征向量α1=(0，-2，1)T，对λ=2，由(2E-A)x=0得特征向量α2=(0...

逆矩阵与原矩阵是倒数关系。矩阵的行列式值就等于它所有特征值的乘积，逆矩阵的特征值分别是原特征值的倒数，所以成倒数关系。主对角线对换；反对角线对换，且取反。可逆矩阵还具有以下性质 ：(1)若A可逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1=A 。(2)若A可逆，则AT亦可逆，且(AT)-1=(A-1)T 。

|A|=0说明A有特征值0,于是A的全部三个特征值为0,1,2 则A^2的全部三个特征值为0,1,4,则-1不是A^2的特征值,于是 |I+A^2|=-|-I-A^2|不等于零,于是A^2+I为可逆矩阵.注：如果|-I-A^2|等于零,也就是|-1*I-A^2|=0,那么-1就是A^2的特征值了 A^2有0,1,4特征值,可以...