拉格朗日(Lagrange) 插值公式

发布网友发布时间：2024-08-19 15:55

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热心网友时间：2024-08-22 11:01

在数学中，拉格朗日插值公式是一种构建插值多项式的方法，用于在已知特定点上的函数值条件下，构造一个逼近原函数的多项式。假设我们有一个函数[公式]在区间[公式]内定义，并且在点[公式]处已知其函数值[公式]。目标是构造一个次数不超过[公式]的插值多项式[公式]，满足[公式]的条件。

对于线性插值，当函数在区间[公式]的端点[公式]和[公式]处的函数值分别为[公式]和[公式]时，可以通过点斜式得出一个线性插值多项式[公式]，其中[公式]和[公式]为线性插值基函数。

对于二次插值，若已知[公式]在点[公式]上的函数值[公式]，则可以构造一个二次多项式[公式]来满足[公式]。该多项式的构造过程相对直观，通过[公式]的形式可得[公式]。

一般情况下，当有[公式]个插值节点[公式]，对应函数值[公式]时，构造次数不超过[公式]的插值函数多项式[公式]，满足[公式]。这里[公式]是[公式]次插值基函数，满足特定的性质[公式]，进而得到[公式]的表达式。

拉格朗日插值方法的一个关键点是存在插值余项，它衡量了用[公式]近似[公式]时的误差。在[公式]的点，插值多项式[公式]精确匹配[公式]，而在其他点[公式]，误差表现为[公式]，即插值余项[公式]。

通过上述方法，我们可以精确地在给定节点上构建多项式，同时控制其在其他点的误差。这个理论在《计算方法》（华中科技大学数学系，张诚坚，何南忠，高等教育出版社）等教材中有详细阐述。