数学证明题:在三角形ABC中,求证:a=bcosC+ccosB,其中的*代表乘

发布网友发布时间：2024-08-19 21:23

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热心网友时间：2024-08-24 17:39

如图，垂直BC作AD，则

BD=c*CosB,CD=b*CosC

a=BD+CD

所以，a=b*cosC+c*cosB

热心网友时间：2024-08-24 17:40

用余弦定理，把cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)代入，b*cosC+c*cosB=(a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2)/(2a)=2a^2/(2a)=a。
也可以用几何方法。从A点作BC边上的垂线，垂足是D。分别讨论A是锐角、直角、钝角的情形。比如A是锐角时，D在线段BC上，则BC=BD+DC=AB*cosB+AC*cosC，这就是a=b*cosC+c*cosB。

热心网友时间：2024-08-24 17:42

证明：
∵A+B+C=180º
∴A=180º-(B+C)
∴sinA=sin[180º-(B+C)]
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC.
即有sinA=sinBcosC+cosBsinC.
再由正弦定理可知：
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R）
代入上式，整理可得：
a=bcosC+ccosB.

热心网友时间：2024-08-24 17:39

sinA=sinBcosC+sinCcosB
sinA=sin(B+C)
在三角形中，A+B+C=180
所以 sinA=sinA
a=bcosC+ccosB

热心网友时间：2024-08-24 17:46

证明
b*cosC+c*cosB
=b*（a²+b²-c²）/2ab+c*（a²+c²-b²）/2ac
=（a²+b²-c²）/2a+（a²+c²-b²）/2a
=（a²+b²-c²+a²+c²-b²）/2a
=2a²/2a
=a
即原式成立。

数学证明题:在三角形ABC中,求证:a=b*cosC+c*cosB,其中的*代表乘

数学证明题:在三角形ABC中,求证:a=bcosC+ccosB,其中的*代表乘