牛顿--莱布尼茨公式

发布网友发布时间：2024-08-19 19:03

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热心网友时间：2024-08-20 01:54

牛顿-莱布尼茨公式，即当函数f在区间[a, b]上连续，并存在原函数F(x)，表明f在该区间可积，其积分定理表述为：b(上限)∫a(下限)f(x)dx = F(b) - F(a)。这个公式的重要性在于它建立了不定积分与定积分之间的桥梁，为定积分的计算提供了明确且有效的计算方式。下面通过证明来展示这个公式的成立过程。

首先，定积分表达式可以被理解为将上限x看作变量，定义一个新函数Φ(x) = x(上限)∫a(下限)f(t)dt，其中t是被积函数的自变量。为了区分积分上限和自变量，我们用字母t替代自变量，得到Φ(x) = x(上限)∫a(下限)f(t)dt。然后，我们研究函数Φ(x)的性质：1、Φ'(x) = f(x)，可通过增量法和定积分的中值定理证明；2、通过导数得出b(上限)∫a(下限)f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数，因为Φ(a) = 0，所以F(a) = C，从而得到Φ(x) + F(a) = F(x)，当x = b时，就有Φ(b) = F(b) - F(a)，即b(上限)∫a(下限)f(t)dt = F(b) - F(a)。最终，将t替换回x，我们得到了牛顿-莱布尼茨公式。