一次性讲透背包问题——动态规划经典问题的深度解析

发布网友发布时间：2024-08-19 06:25

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热心网友时间：2024-08-30 15:40

背包问题作为动态规划的基石，是面试和算法考试的常见考察点。主要类型包括0/1背包、完全背包、多重背包和分组背包。其中，0/1背包和完全背包尤为基础。

0/1背包

0/1背包的问题是：给定weight[]和value[]数组，每个物品只能选一次，目标是在不超过背包容量capacity的情况下，获取最大价值。例如，weight=[5,6,7], value=[3,4,5]与capacity=5时，答案是只选0号物品，价值3。

递归解法中，定义process函数，从0号物品开始，递归地考虑所有可能的组合，直至所有物品都被考虑。存在重叠子问题，如weight=[1,1,1,1], value=[10,20,30,40]与capacity=3时，多次计算了相同的子问题。

记忆化搜索

记忆化搜索通过在递归函数中添加缓存，避免重复计算，简化了0/1背包问题。自底向上的动态规划则通过创建二维数组dp[][]，从下到上、从左到右推导，解决状态转移问题。

完全背包

与0/1背包不同，完全背包允许无限数量的物品。状态转移方程有所不同，但仍可通过动态规划求解。例如，dp[i][j]表示前i件物品在容量j下的最大价值。

总结，掌握0/1和完全背包是解背包问题的关键，它们在LeetCode等平台上有大量实战题目，如《518. 零钱兑换 II》和《377. 组合总和 Ⅳ》。