背包问题背包问题
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发布时间：2024-08-19 06:25
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时间：2024-08-31 07:14
背包问题是一个经典的动态规划问题，涉及N件物品和一个容量为V的背包。每件物品i的重量是c[i]，价值是w[i]，目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品以最大化价值总和。基本策略是：每件物品只能选择一次，要么放入背包，要么不放。
状态转移方程定义为：f[i][v]表示前i件物品放入容量为v的背包可以获得的最大价值，其公式是f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。这个公式至关重要，几乎所有背包问题的解法都源于它。它表示选择第i件物品的情况，如果不选，则价值不变为f[i-1][v]；若选，则剩余容量为v-c[i]，此时的价值为f[i-1][v-c[i]]加上w[i]的价值。
需要注意的是，最终答案是所有状态f[N][0..V]中的最大值，因为状态f[i][v]的定义需要确保有一组前i件物品的重量和不超过v。空间复杂度可以通过优化，从O(N*V)降低到O(N)，但时间复杂度已是最优，为O(N*V)。实现时，通常通过主循环遍历物品，以v=V到0的顺序更新二维数组f，确保在计算f[v]时能访问到f[v-c[i]]的值。
两种常见实现方法包括：1）使用二维数组f[i][0..V]，主循环中按顺序或逆序更新，2）递归实现，通过A[i][v]和B[i][v]分别表示选取和不选取当前物品的最大价值，最后通过max(A[n][v],B[n][v])得到最大值。理解并掌握这些基础方法，对解决更复杂背包问题至关重要。
扩展资料
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