圆幂定理证明
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发布时间：2024-08-19 07:44
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时间：2024-08-20 03:38
圆幂定理，也被称为相交弦定理、切割线定理及其推论，统一了这些定理。其核心内容是关于圆内或圆外点与圆的关系。
问题1，相交弦定理表明，圆内两条相交弦，它们被交点分成的线段长度满足PA·PB=PC·PD，证明时利用了圆周角定理和相似三角形的性质。
问题2，割线定理则规定，圆外一点P引出的两条割线与圆的交点，PA·PB=PC·PD，当PA=PB时，即切线定理，PA²=PC·PD。证明依赖于四边形ABCD的内角和关系。
切割线定理进一步扩展，指出切线长是点P到割线与圆交点之间线段的中项，即PT²=PA·PB。而其推论则表明，圆外两点引出的割线，交点间的线段乘积恒相等。
问题3，过点P任作圆的两条弦，其长度积PA·PB恒定，这个值与圆的半径及P点到圆心的距离有关。当P在圆的不同位置时，这个定值有不同的几何意义。
问题4，通过具体例子，证明了割线与切线的交点形成调和数列，这同样体现了圆幂定理的应用和其与其他定理的联系。
逆定理指出，特定的线段长度关系，如PA×BP=CP×PD，意味着这些点共圆或者切线的存在。这些定理和逆定理在几何问题中具有重要应用，它们揭示了圆与直线之间的几何关系。
扩展资料
圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
