群论7 - 域和体

发布网友发布时间：2024-09-08 11:03

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热心网友时间：2024-09-30 11:22

在环论中，零因子、无零因子环、整环、除环、域和体等概念是环的性质不同层次的抽象。无零因子环和整环的区别在于零因子是否存在，而整环还要求是交换环且单位元非零。除环是零因子环和元素可逆的交集，如果它交换则为域，非交换则为体。高斯整环和根域是重要的整环和域例子，前者以无平方因子整数为基础，后者则关注特定域的性质。四元数体作为非交换的体，其乘法封闭性是关键特性。而剩余类集作为域的条件，依赖于m是否为素数。以下是这些概念的简要描述：

无零因子环和整环的区分在于是否存在零因子，整环要求无零因子且交换。除环是无零因子和元素可逆的结合，若交换则称为域，非交换则为体。

高斯整环以无平方因子整数构造，满足整环的性质，如加法交换、乘法封闭等。根域则在无平方因子整数域上定义，要求所有非零元素都有逆元。

四元数体是特殊的非交换除环，由逆序负共轭二维矩阵构成，其乘法封闭性是其核心。复数的性质与四元数的定义紧密相关，如[公式] 的证明。

剩余类集若为域，需m为素数，因为非素数情况下会有零因子存在。素数剩余类集的特性决定了它是域的必要条件。

热心网友时间：2024-09-30 11:17