如何理解理论力学中平衡方程是充分必要条件?
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发布时间：2024-09-07 08:11
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时间：2024-12-09 23:44
《理论力学》第二版 高等教育出版社p49
上图为空间任意力系作用下，刚体平衡的充分必要条件。即空间里不线性相关的三个方向上的各力分量和分别为0，空间里不线性相关的三个方向上力对轴之矩的和分别为0。
在三维空间里，一个刚体有6个独立的平衡方程。
那么在平面中呢？
由于所有力都在平面内，所以在垂直于平面的方向上让各力分量和为0没有意义，这个平衡方程不能解出任何一个力，所以是无效的。平衡方程数量减1（减去一个分力平衡）
显然以平面法向量为轴，让各个力对轴之矩加起来为0是一个约束。下面这个图里面我证明了在此方向上只能取到1个有效的力矩方程，因为其他平行轴的力矩平衡方程可以由有效的那个表出，不是独立的。这个有效的轴只要平行平面法向量，是可以任意选取的。
其他的力矩平衡方程可被表出
另外两个与法向量垂直的轴，若在平面内，则使得各力或与轴平行，或与轴相交，力矩都为0；若不在平面内，可以将径矢（原点指向力的作用点）分解出一个和法向量平行的矢量以及一个与法向量垂直的矢量。对于各力来说，分解出来的与法向量平行的矢量都是相同的，因此在计算力矩时，与这个矢量有关的力矩因为合力为0而力矩为0，其余过程与在平面内一致，也为0。
平衡方程数量再减2（减去两个力矩平衡）
因此，失去了3个有效平衡方程后，我们就只剩下3个有效的平衡方程咯^^
