交换群公式
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发布时间：2024-09-08 13:31
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时间：2024-10-20 05:53
在代数中，群的概念起源于十八世纪，主要用于解决方程式。交换群，也称阿贝尔群，是由挪威数学家阿倍尔引入的。这里我们将探讨有限交换群的基本结构。首先，我们引入一些集合的符号：集合S中的元素用aЄS表示，S∪T表示联合，S∩T表示交集，S/T表示T在S中的余集，空集用Φ表示。S×T是所有有序对(a,b)组成的集合，其中a属于S，b属于T。映射是从S到T的一种对应关系，每个S的元素对应到T中的唯一元素，但可能有多个S元素对应同一T元素。
算术基本定理指出，任何整数a都可以唯一地表示为质数的乘积。定理B描述了整数的最大公约数的性质，定理C则说明了互质整数的加和结果。更多证明细节可参考相关文献。群的定义包括结合律、存在单位元和逆元三个条件。交换群要求运算满足交换律，即a。b=b。a。给出三个例子：整数集合Z与加法构成交换群；有限集合S上的特定运算，形成Zm；映射集合G中的对应运算，当S元素有限时，G形成有限群。
群的阶数定义为群中元素的数目。群的子群是指满足群的性质的非空子集。循环群的特征是每个元素都可以表示为某个元素的幂，它是交换群的一种特殊情况。在有限交换群的研究中，我们用加法代替运算，简化表示方式，并引入指数和阶数的概念。定理表明，任何有限交换群都可以表示为其循环子群的直接和。
扩展资料
交换群，又名阿贝尔群(Abel group) ，是这样一类群 (G, +)：对任意 a，b 属于 G，满足 a + b = b + a（交换律）。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。由阿贝尔定理， 交换群必定同构于一些整数加法群和一些剩余类加法群的直和， 这个分解是唯一的， 其中分解出来的整数群的个数称为阿贝尔群的秩。比交换群更广泛的概念是模的概念，交换群就是整数环上的模。常用加法表示群运算。
