任意拉格朗日-欧拉方法(ALE)【一】
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发布时间：2024-09-08 15:12
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时间：2024-09-08 17:05
连续介质体的运动可以分为三个瞬间：初始构形、参考构形和当前构形。物质点在不同构形中的坐标分别对应拉格朗日坐标、ALE坐标和欧拉坐标。当当前构形相对初始构形的变换较小时，可直接取初始构形作为参考构形，网格保持静止。而当变化较大导致网格畸变，计算精度下降甚至错误时，需在上一离散时刻进行网格重绘，以初始构形为参考，采用任意拉格朗日-欧拉方法（ALE）。ALE方法中，初始构形相对实验室系静止，而运动则是物质运动和网格运动的组合。拉格朗日表述下，网格依附初始构形；欧拉表述下，网格依附当前构形的固定区域；而ALE表述下，网格运动独立于物质运动。值得注意的是，ALE描述下的网格运动并无物理意义，但网格固定在初始构形上时，网格运动退化为具有物理意义的物质运动。
在ALE方法中，物理量包括位移、速度和加速度。物质运动对应位移、速度和加速度，而网格运动对应的是非物理位移、速度和加速度。物理量（场）可以是标量场、矢量场或张量场。对于标量场，可以通过三种描述求出物质时间导数，其中欧拉坐标梯度描述场在欧拉坐标系中的变化，ALE坐标梯度描述场在ALE坐标系中的变化。对流速度可由速度的相对关系得到，并定义对流速度为物质和网格之间的相对速度。对流速度与物质时间导数之间的关系可由对流速度表达式得到，最终得到ALE描述的物质时间导数的最终形式。
在欧拉描述下，质量、动量和能量守恒定律的积分形式通过考虑光滑闭合表面包围的物质体积变化率得到。欧拉描述的物理量体积分的时间导数通过雷诺输运定理表示。基于雷诺输运定理，欧拉描述下的守恒方程可被表示为质量、动量和能量守恒定律。
比较欧拉描述下的物质时间导数和ALE描述下的物质时间导数，可得两者之间的关系。通过替换对流项中的物质速度为对流速度，可将欧拉形式的守恒方程转换为ALE形式。结果是，ALE描述下的守恒方程展示了网格的任意运动仅反映在左侧，而右侧则以经典欧拉形式编写，体现了物质运动和网格运动的结合。
以上内容详细阐述了任意拉格朗日-欧拉方法（ALE）在连续介质体运动分析中的应用，从ALE表述、位移和速度的定义、物质时间导数和梯度的计算、对流速度的定义、欧拉描述下的守恒方程以及转换至ALE描述的过程。这一方法在处理大变形问题时提供了有效且精确的解决方案。
任意拉格朗日-欧拉方法(ALE)【一】
物质点在不同构形中的坐标分别对应拉格朗日坐标、ALE坐标和欧拉坐标。当当前构形相对初始构形的变换较小时，可直接取初始构形作为参考构形，网格保持静止。而当变化较大导致网格畸变，计算精度下降甚至错误时，需在上一离散时刻进行网格重绘，以初始构形为参考，采用任意拉格朗日-欧拉方法（ALE）。ALE方法中...
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