凸函数简介
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发布时间：2024-09-29 02:47
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时间：2024-10-23 10:53
凸函数是研究在向量空间中特定区域C（比如区间I）内实值函数f的重要概念。它满足一个关键性质，即对于任意两个向量x1和x2，函数值在它们的加权平均点处不大于各自函数值的加权平均，即f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。这个性质可以扩展到对于区间C中任意的有理数p，得到f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。如果函数f在C上是连续的，那么这个性质同样适用于实数p。
若C定义为某个区间I，那么凸函数的定义更为具体：对于区间I上定义的函数f，对于任意两点X1和X2以及实数λ∈(0,1)，满足f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)的函数f，我们称其为I上的凸函数。
判断一个函数是否为凸函数，有多种方法：可以直接运用定义验证，或者利用已知的结论，还可以通过分析函数的二阶导数。对于实数集上的函数，如果二阶导数在整个区间上非负，那么该函数被认为是凸的；如果二阶导数在区间上恒为正，那么函数被称为严格凸函数。
扩展资料
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
