已知:∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E.求证:BD=2CE

发布网友 发布时间：2024-09-28 19:33

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热心网友 时间：2024-09-29 10:54

证明：
1.
延长BA，交CE延长线于F
∵∠BAD=∠CAF=90º
∠ABD=ACF【都是∠F的余角】
AB=AC
∴⊿ABD≌⊿ACF（AAS）
∴BD=CF
∵∠FBE=∠CBE，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90º
∴⊿BEF≌⊿BEC（ASA）
∴CE=EF
∴BD=2CE
2.
取BC中点M，连接EM,交AC于N
则EM为Rt⊿BCE的中线
∴EM=½BC=BM
∴∠MBE=∠MEB=∠ABE
∴ME//AB
∴∠CNE=∠BAC=90º
CN/AC=CM/BC=½【也可用中位线】即AC=2CN
∵∠ABD +∠BDA=90º
∠ECN +∠CDE=90º
∠BDA=∠CDE
∴∠ABD=∠ECN
又∵∠CNE=∠BAD
∴⊿CNE∽⊿BAD（AA‘）
∴AB/CN=BD/CE
∵AB=AC=2CN
∴BD=2CE
3.【因前面有些已证明，此处略】
作BD的中垂线，交AB于F，垂足为G，连接FD
则FB=FD
∴∠FDG=∠FBG=22.5º【22.5º等腰RT⊿底角平分角，略，不要计较】
∠ADF=∠ADB-∠FDG=90º-∠ABD-∠FDG=45º
∴⊿ADF是等腰直角三角形
∴AF=AD
∵AB=AC
∴BF=CD
又∵∠FBG=∠DCE，∠BAF=∠CED
∴⊿BFG≌⊿CDE（AAS）
∴BG=CE
∴BD=2BG=2CE

热心网友 时间：2024-09-29 11:01

延长BA，交CE延长线于F
∵∠BAD=∠CAF=90º
∠ABD=ACF【都是∠F的余角】
AB=AC
∴⊿ABD≌⊿ACF（AAS）
∴BD=CF
∵∠FBE=∠CBE，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90º
∴⊿BEF≌⊿BEC（ASA）
∴CE=EF
∴BD=2CE
2.
取BC中点M，连接EM,交AC于N
则EM为Rt⊿BCE的中线
∴EM=½BC=BM
∴∠MBE=∠MEB=∠ABE
∴ME//AB
∴∠CNE=∠BAC=90º
CN/AC=CM/BC=½
即AC=2CN
∵∠ABD +∠BDA=90º
∠ECN +∠CDE=90º
∠BDA=∠CDE
∴∠ABD=∠ECN
又∵∠CNE=∠BAD
∴⊿CNE∽⊿BAD（AA‘）
∴AB/CN=BD/CE
∵AB=AC=2CN
∴BD=2CE

热心网友 时间：2024-09-29 10:53

证明：
1.
延长BA，交CE延长线于F
∵∠BAD=∠CAF=90º
∠ABD=ACF【都是∠F的余角】
AB=AC
∴⊿ABD≌⊿ACF（AAS）
∴BD=CF
∵∠FBE=∠CBE，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90º
∴⊿BEF≌⊿BEC（ASA）
∴CE=EF
∴BD=2CE